Необхщна I достатня умова щентифшованосп

У моделi, що мютить N рiвнянь вiдносно N ендогенних змшних, умова вдентифпсованосп виконуеться тодi i тiльки тодi, коли ранг матрищ, складено! з виключених з даних рiвнянь змiнних, але таких, що мютяться в iнших рiвняннях системи, дорiвнюе N - 1.

8.5. Методи оцшювання паpаметpiв систем piвнянь

Як зазначалося, застосування звичайного МНК до рiвнянь структур­но! форми системи рiвнянь призводить до отримання змiщених оцiнок параметрiв через корельовашсть (залежнiсть) змiнних i залшшав моделi, що е порушенням одше! з передумов застосування МНК. Перехгд вiд структурно! форми моделi до скорочено! е одним iз способiв, що усувае проблему корельованостi, однак породжуе шшу, а саме проблему вден-тифiкованостi окремих рiвнянь системи, а також системи загалом.

Залежно вгд розв'язання цiе! проблеми, тобто шсля перевiрки умо­ви гдентифшованосп кожного рiвняння системи, застосовують таю методи:

1. якщо кожне рГвняння системи точно гдентифпсоване, то пара­метри зведено! моделi оцшюють непрямим методом найменших квад-ратiв (НМНК); Гдея методу полягае в тому, щоб вгд структурно! фор­ми перейти до зведено!, звичайним МНК оцшити параметри останньо! й оберненим перетворенням отримати оцшки параметрiв структурно! форми;

2. усунути корелящю мГж змшними та залишками моделi можна також за допомогою методу шструментальних змшних, Гдея якого полягае в тому, щоб змшш, що корелюють Гз залишками, замшити шшими — шструментальними, яю тюно пов'язаш з незалежними змшними модели але зовам не пов'язаш з !! залишками;

3. якщо рГвняння структурно! форми моделГ надддентифпсоваш, то параметри моделГ оцшюють за допомогою двокрокового методу найменших квадратГв (2МНК), що передбачае виконання двох еташв:

а) перший — ендогенш змшш "звшьняють" вгд стохастичних за-лишюв;

б) другий - оцшеш рiвняння шдставляють у структурну систему рiвнянь, до яких попм застосовують звичайний МНК;

4) трикроковий метод найменших квадрапв для одночасного ощ-нювання вих рiвнянь системи за певних обставин ефектившший по-рiвняно з непрямим i двокроковим МНК.

8.5.1. Непрямий метод найменших квадралв оцшювання параметр1в точно щентифшованих систем

Оскiльки на основi звичайного МНК неможливо отримати яюсш оцiнки пaрaметрiв системи одночасних рiвнянь, варто скористатися iншими методами оцшювання пaрaметрiв. Одним iз них е непрямий метод найменших квадрапв, що грунтуеться на використанш зведе-них рiвнянь.

Для iлюстрaцi'i НМНК розглянемо кейнаанську модель форму-вання прибутюв:

^Ct ^{— a}0 + ^ai^Yt + ^ut^, Yt — Ct + Zt. У зведешй формi ця модель мае вигляд

Y_t — + z_t + -3-, (8.27)

1 - a, 1 - a, 1 - a,

1 - a 1 - a, 1 - a,

(8.28)

Позначимо

1 - a 1 - a 1 - a,

: ^{— A}2i^ ^ ^{— v}t ~ ^N

1 - ai 1 - ai

Тодi замють останнiх спiввiдношень от]

1 - a, v ^{1 у}

^Yt ^-Х10 + ^X11^Zt + ^vt^{, C}t ^-Х20 + ^X21^Zt + ^vt •

Через те, що обсяг швестищй Z_t е екзогенною змшною модели ця змшна не корелюе з випадковим залишком v_t у зведенш формГ систе­ми рГвнянь (8.27), (8.28), а отже, i з залишками v_t останньо! системи. Це означае, що для випадкового члена v_t виконуються передумови

МНК. Тому

маш за МНК, будуть незмщеними, обгрунтованими i ефективними. Знаючи щ оцшки, нескладно визначити оцшки я₀ i Щ коефщенпв Й0 i щ рГвняння початково! структурно! системи:

Визначення оцшок за зазначеною схемою називаеться непрямим ме­тодом найменших квадрата. Змют тако! назви очевидний: перш шж за-стосувати звичайний МНК, початкову систему перетворили до зведено! форми, за МНК-оцшками яко! визначили оцшки початково! системи.

Оцшки параметрГв Й0 та а^, отримаш за НМНК, е обгрунтовани­ми, а тому при великих вибГрках юнуе висока ймовГршсть, що вони наближатимуться до ютинних значень параметрГв.

Зазначимо, що в цьому разГ оцшки визначаються точно, а регре-сшне рГвняння в розглянутш моделГ доходу е щентифпсованим (од­нозначно визначеним).

Отже, при непрямому МНК виконуються таю кроки:

1. перевГряеться умова щентифгкованосп для кожного рГвняння структурно! форми. Якщо ва рГвняння точно щентифшоваш, то ви-конуеться наступний крок, шакше застосовуеться шший метод;

2. вихщна структурна система рГвнянь перетворюеться до зведе-но! форми;

3. оцшюються за МНК параметри рГвнянь у зведенш формг

4. на основГ оцшок, знайдених для зведено! форми, обчислюються параметри структурних рГвнянь за допомогою обернених перетворень.

Приклад. Розглядаеться модель "попит — пропозищя":

Пропозищя j^qt ^-р0 + р1 ^pt +^E1t^,

Попит де q_t, p_t — ендогенш змшш (кглыасть товару i щна в роц t); e_lt, z<_It -випадковГ вiдxилення; y_t - екзогенна змiнна (прибуток споживачГв).

На пiдcтaвi наступних статистичних даних необхгдно oцiнити кoефiцieнти функцп пропозицп, використовуючи МНК i НМНК. По-piвняти результати.

^pt	^qt	^yt	Р^2	y^2	^pt^qt	^pt^yt	^qt^yt
1 2 3 4 5	8 10 7 5 1	2 4 3 5 2	1 4 9 16 25	4 16 9 25 4	8 20 21 20 5	2 8 9 20 10	16 40 21 25 2
15	31	16	55	58	74	49	104	Сума
3	6,2	3,2	11	11,6	14,8	9,8	20,8	Середне

Побудуемо зведенi рГвняння зазначено! системи, вгднявши вГд функцп пропозицп функщю попиту. Отримаемо

звГдки

^pt = ^п10 + ⁿ11^yt + ^v1t^{, q}t = ^П20 + ^П21 ^yt + ^v2t^,

^{де п}10 = „ ^{, п}11 = о ^{, v}1t =

Неважко помГтити, що функцГя пропозицп точно гдентифпсована. ОцГнки b»1 i b>0 параметрГв p1 i p0 можуть бути визначеш на основг оцГнок коефщентГв таких рГвнянь:

За наявними статистичними даними ощнимо коефГцГенти зведе-них рГвнянь:

= т^ш = w_=_0Д471; ¹¹ y² - y^{2 1,36}

П₁₀ = p - n₁₁ y = 3 - 0,147 • 3,2 = 2,5293,

yq- y • q 0,96 _nn/,, я= — = —— = 0,9411,

y - y ^1,36

n= q -n y = 3,9411.

0 1

Ощнки коефщденпв функцп пропозицп за МНК будуть таю: b₁ = 0,7059/0,1471 = -4,7988, b₀ = 3,9411 - 4,7988 • 2,5293 = - 8,1965. Отже, функщя пропозицп мае вигляд

q_t =-8,1965 + 4,7988p_t.

Водночас розраховаш безпосередньо за МНК оцшки даного р1вняння становитимуть:

b1 = = ^-|⁸ = -1Д b0 =qq-bР = 11,9,

p - p ² тобто функщя пропозицп мае вигляд

q_t = 11,9 -1,9 pt.

За отриманими результатами можна зробити висновок про те, що застосування МНК у невщповщних ситуащях може ютотно спотво-рити картину залежносп.