3.2. Метод найменших квадралв 3.2.1. Основн1 припущення

Застосування методу найменших квадрапв до загально! лшшно! багатофакторно! мoделi (3.1) передбачае наявнicть таких передумов:

1) кожне значення випадково! складово! рiвняння u_i, i = 1,2,..., n, е випадковою величиною i математичне cпoдiвання залишкiв u_i до- рiвнюе нулю:

M (u) = 0;

2) компоненти вектора залиштав некoрельoванi (лiнiйнo неза- лежш) мiж собою i мають сталу диспераю:

M (u^Tu) = o²E;

3. пояснююга змiннi (регресори, фактори модели некoрельoванi iз залишками;

4. пояснююга змiннi некoрельoванi мiж собою.

Порушення першо! передумови означае, що юнуе систематичний вплив на залежну змшну, який не враховано в модель Таку ситуащ'ю можна трактувати як помилку специфшацп, однак наявшсть вьльно-го члена мoделi дае змогу скоригувати модель так, щоб забезпечити виконання першо! передумови.

Друга передумова означае, що залишки мoделi е помилками ви-мiрювання. Якщо мiж компонентами вектора залишюв icнуе кореля-цiйна залежшсть, таке явище називаеться автокорелящею. Наявшсть автокореляцп в мoделi cвiдчить про юнування кореляц^! мiж по-слвдовними значеннями деяко! незалежно! змiннol або про неврахо-ваний суттевий фактор, що впливае на залежну змшну i не може бути усунений за рахунок вшьного члена модель Загальний вплив пояс-нюючих змшних, не врахованих у модели може виявитися також у тому, що дисперая залиштав для окремих груп спостережень змшю-ватиметься. Таке явище називаеться гетероскедастичшстю. У будь-якому разi порушення друго! передумови впливае на методи оцшю­вання параметрiв модель

Наявшсть залежносп мiж залишками та незалежними змшними найчаспше пов'язана з тим, що в мoделi присутш лагoвi (затриманi в чаа) змiннi або вона будуеться на базi одночасних структурних рiвнянь• Для оцшювання парамeтрiв i в цьому разi заетоеовують iншi методи.

Залежшеть мiж незалежними змiнними може значною мiрою впливати на якiеть ощнок, отриманих за МНК. Якщо мiж незалеж­ними змшними модeлi iенують тiенi лiнiйнi зв'язки, це явище нази-вають мультиколiнeарнiетю• Модeлi, у яких епоетерпаетьея мульти-колiнeарнiеть, етають надзвичайно чутливими до конкретного набору даних, до епецифшацп модeлi й мають значш вiдxилeння вiд дшених значень парамeтрiв узагальнено! модeлi•

Крiм розглянутих чотирьох передумов важливе значення мае припущення про нормальний розподш залишюв модeлi• Це припу-щення забезпечуе нормальний розподш коeфiцieнтiв регрееп й дае змогу викориетовувати вiдомi критери для пeрeвiрки етатиетичних гшотез вiдноено отриманих оцiнок, а також визначати !х довiрчi iнтeрвали•

3.2.2. МНК-оцшки параметр1в лшшно'|' perpecii та ix ochobhj влаcтивоcтi

З теорп ймовiрноетeй вiдомо (доведено в тeорeмi Гауееа — Мар­кова), що коли виконуютьея пeрeлiчeнi передумови, то отримаш за допомогою МНК оцшки парамeтрiв рeгрeеiйного рiвняння е незмще-ними, обгрунтованими, ефективними та iнварiантними.

Наявнiеть таких влаетивоетей оцiнок гарантуе, що оетанш не мають еиетематично! похибки (нeзмiщeнiеть), надiйнiеть !х шдви-щуетьея зi збiльшeнням обеягу вибiрки (обгрунтованiеть), вони е найкращими ееред шших оцiнок парамeтрiв, лiнiйниx вщноено ен-догенно! змiнно'l (eфeктивнiеть)• Крiм того, оцiнка перетворених парамeтрiв (оцшка функцil вiд параметра) може бути отримана в результат аналогiчного перетворення оцшки параметра (iнварiант-нiеть)•

Зокрема, якщо порушуетьея друга передумова МНК (за наявноеп автокореляцп чи гетероекедаетичноеп), то отриманi за цим методом оцшки втрачають влаетивiеть eфeктивноетi, хоча залишаютьея не-змiщeними та обгрунтованими. Якщо порушуетьея четверта перед­умова, тобто мiж змшними iенують мультиколшеарш зв'язки, це при-зводить до змпцення МНК-оцiнок• Заетоеування моделей, що мають змпцеш чи нeeфeктивнi оцшки, втрачае еене.