3.1. Вывод закона распределения вероятностей Описание системы

Рассмотрим изолированную систему, представляющую классический идеальный газ (рис. 3.1). Введем обозначения:

– объем, занимаемый газом;n–число частиц, находящихся в нем;

– число ячеек, которые могут занимать частицы;

некоторый фиксированный объем, часть,– число ячеек в объеме. Говоря об объеме, мы имеем в виду

Рис. 3.1.

мысленно выделенное подпространство, не имеющее материальных границ (Рис. 3.1), поэтому в объемеV₁ может находиться случайное число частиц. Применение модели классического идеального газа требует выполнения условий:.

Актуальные свойства модели системы

• Пространство, занимаемое газом однородно и изотропно (нет выделенных мест и направлений).

• Частицы отличимы друг от друга (например, пронумерованы).

Последнее неожиданное допущение фиксирует факт отсутствия пространственной конкуренции между молекулами классического идеального газа . Предположение о различимости частиц означает, что два микросостояния, в которых частицами заняты одни и те же ячейки, различны, если, например, две частицы поменялись местами в каких-то ячейках.

Следует обратить внимание на то, что рассматриваемые частицы совершенно одинаковы, поэтому свойства двух микросостояний, в которых частицы обменялись местами, должны быть абсолютно идентичными. Однако, мы считаем эти микросостояния различными, поскольку системе требуется определенное время для того, чтобы пройти эти «одинаковые» микросостояния. Различимость частиц в дальнейшем заставит нас выбрать «нужные» формулы комбинаторики для подсчета числа микросостояний системы.

Постановка задачи

Какова вероятность макроскопического состояния системы, при котором в объеменаходитсячастиц?

Вывод закона

• По определению вероятность макроскопического состояния системы

• Полное число микросостояний рассчитаем, как число размещенийразличимых частиц поячейкам.

• Число размещений частиц в объемепоячейкам:

• Число состояний, доступных для остальных частиц в объеме

Каждое из микросостояний

комбинирует со всеми микросостояниями в силу их независимости

.

• Поскольку частицы различимы, то фиксированное число молекул , определяющее макросостояние, можно выбрать не одним способом. Количество способов – это число сочетаний, которыми можно выбратьразличных частиц изразличных частиц

• Окончательно – общее число микросостояний, посредством которых реализуется интересующее нас макросостояние.

Ответ:

Трудно представить, что такая громоздкая формула может найти хоть какое-нибудь применение.

Будем работать дальше в надежде на .

Математические преобразования больших чисел. Введение общепринятых обозначений

Для преобразования больших чисел обычно используют формулу Стирлинга.

Эта формула позволяет существенно упростить (3.1), а именно

Введём общепринятые обозначения:

– вероятность нахождения частицы в,– вероятность нахождения частицы в остальной части объёма,

– условие нормировки одночастичной вероятности.