13.5. Модель газа Ван-дер-Ваальса. Уравнение Ван-дер-Ваальса

В теории Ван-дер-Ваальса используется упрощенная модель межмолекулярного взаимодействия в газе. На рис. 13.4 можно сравнить реальный потенциал типа Леннарда-Джонса (13.6) и потенциал Ван-дер-Ваальса, изображенный пунктирной линией.

Как видно из рисунка, часть кривой заменяется вертикальной прямой. Если– расстояние до этой прямой от начала координат, то центры взаимодействующих частиц не могут сблизиться на расстояние меньшее, что соответствует модели твердых упругих шаров. Именно эта модель находит свое отражение в уравнении состояния газа Ван-дер-Ваальса. Запишем это уравнение и рассмотрим его внимательно.

Рис. 13.4.

Невооруженным глазом видно, что оно может быть получено небольшим изменением уравнения Клапейрона-Менделеева. Действительно, отталкивание молекул в модели газа Ван-дер-Ваальса учтено только наличием собственного объема молекул. Это приводит к уменьшению свободного объема, предоставленного молекулам на некоторую величину . Как показывает детальное рассмотрение, где– объем молекул данного газа в количестве 1 моль. Разумеется, поправкадля каждого газа имеет свое значение. Таким образом, смысл выражения, заключенного во вторых скобках уравнения (13.7) становится явным.

Теперь обратим внимание на выражение в первых скобках (13.7). К давлению газа добавилась поправка, связанная с наличием сил притяжения между молекулами газа. Вспомните, как мы вычисляли давление идеального газа на стенку сосуда через изменение импульса молекул, налетающих на стенку. В реальном газе импульс налетающих молекул изменяется не только под действием сил давления со стороны стенки, но и под действием сил, с которыми их тянут внутрь газа молекулы пристеночного слоя.

Поэтому давление газа можно представить как сумму двух вкладов

Слагаемое называется внутренним, или молекулярным давлением. Внутреннее давление пропорционально силе, действующей на молекулу пристеночного слоя, а также числу молекул в нем, отнесенное к единице площади. Каждое из названных сомножителей пропорционально концентрации частиц. Следовательно

Предполагая, что количество молекул газа равно 1 молю, можно записать

Теперь, надеюсь, вам стал ясен смысл всех составляющих уравнения (13.7).

Заметим, что вывод уравнения (13.7) был осуществлен с учетом условий:

Кроме того, актуально предположение, что молекулы газа сферически симметричны, поскольку используется модель твердых упругих шаров.

В заключение запишем уравнение Ван-дер-Ваальса для произвольного числа молей

На следующей лекции мы покажем, как применять уравнение Ван-дер-Ваальса для описания различных свойств реальных газов.

Контрольные вопросы

1. Какие соотношения между средними значениями кинетической энергии и энергии межатомных взаимодействий молекул характерны для газов, жидкостей и твердых тел?

2. Чем отличаются аморфные тела от кристаллических тел?

3. Какие операции симметрии применимы к твердому телу?

4. Что называется а) вектором трансляции, б) решеткой Браве, в) сложной решеткой, г) ячейкой Браве?

5. Объясните причину анизотропии кристаллов.

6. Что называется энергией связи кристалла. Каков интервал изменения этой величины?

7. Какие типы химической связи характерны для кристаллов? Приведите примеры соединений на каждый тип связи.

8. При каких условиях модель идеального газа становится неприменимой к газообразному состоянию вещества? Какие эксперименты позволяют судить об этом?

9. Какова природа молекулярных сил, действующих в реальных газах и жидкостях? Изобразите примерный график потенциала Леннарда-Джонса. Сравните его с потенциалом Ван-дер-Ваальса.

10. Выделите характерные особенности изотермического перехода из газообразного состояния в жидкое.

11. Каким двум требованиям должно отвечать термическое уравнение состояния, реального газа полученное либо из первых принципов, либо на полуэмпирической основе.

12. Запишите уравнение Ван-дер-Ваальса. Объясните физический смысл поправок к давлению и объему.

ЛЕКЦИЯ 14

СВОЙСТВА РЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ. РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕОРИИ

ВАН-ДЕР-ВААЛЬСА И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ.