16.3. Внутренняя теплопроводность и внешняя теплопередача

Рассмотрим более детально явление теплопроводности, имеющее важное практическое значение. Формула (16.1), определяющая плотность потока теплоты, относится к случаю, когда распределение температуры в среде непрерывно и теплопроводность также является непрерывной функцией координат. Теплопроводность в этом случае называется внутренней теплопроводностью. В стационарном случае температуране меняется от времени, а является функцией только пространственных координат. Поэтому все стационарные задачи на внутреннюю теплопроводность сводятся к двум вопросам. Требуется найти либо распределение температуры в среде с заданными граничными условиями, либо получить функциональную зависимостьот координаты. Рассмотрим простейшие случаи, когда среда однородна и поэтому.

Стационарное распределение температуры в бесконечной плоско-параллельной пластинке

Дана бесконечная пластинка толщины , поверхности которых поддерживаются при постоянных температурахи.Она изображена на рис. 16.5. Требуется найти распределение температурывнутри пластинки.

Запишем (16.1) для этой задачи в виде

Рис. 16.5.

Если , из (16.3) следует

После интегрирования (16.4) получим

где - постояная интегрирования. Таким образом, температура меняется с координатойпо линейному закону. Константыинаходятся из граничных условий. При, а при. Соответственно. Найденные значенияиподставим в (16.5) и получим формулу для распределения температуры в пластинке:

Стационарное распределение температуры между двумя концентрическими бесконечно длинными цилиндрами

На рис. 16.6. изображена исследуемая система.

Однородная среда заполняет пространство между двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами . Граничные условия стационарны:

Требуется найти зависимость температуры от расстояния от до аксиальной оси. Полный поток через цилиндрическую поверхность радиусаединичной длины равен

Этот поток является постоянной величиной, независящей от радиуса цилиндрической поверхности. Запишем это условие

Рис. 16.6.

Следовательно

Выразим левую часть этого уравнения согласно (16.1), тогда получим

После интегрирования (16.8) находим решение в общем виде

Константы инаходятся из граничных условий. При,aпри. Соответственно

Вычтем из второго уравнения первое и получим значение

Подставив полученное выражение для в любое из уравнений (16.10) определим. Окончательно решение имеет вид

Стационарное распределение температуры между двумя концентрическими сферами

На рис. 16.7. изображена исследуемая система.

Пространство между сферами радиусов изаполнено однородной средой. Поток теплоты через сферическую поверхность радиусаравенэта величина постоянна и не зависит от радиуса сферы. Поэтому уравнение для плотности потока имеет вид

Рис. 16.7.

После интегрирования (16.12) получим

Из граничных условий находим и. Окончательно решение имеет вид

Ещё раз отметим, что распределения температур в слоях вещества с разной симметрией получены при условии, что . Если это не так, то зависимостьиливойдет в соответствующие дифференциальные уравнения. Это приведет к тому, что распределение температуры в слоях будет отличаться от (16.6), (16.11) и (16.13).