Связь между теплоёмкостями и(общий случай)

Описание системы

Рассматриваемая термодинамическая система является закрытой, т. е. она может обмениваться энергией с окружающей средой.

Актуальная информация о процессе и системе

• Процесс теплообмена является квазистатическим.

• Известно термическое уравнение состояния данной системы

• Известно калорическое уравнение состояния

Постановка задачи

Найти соотношение между молярными теплоёмкостями и

Вывод формулы

• Воспользовавшись записью первого начала термодинамики в дифференциальной форме (9.2), получим выражение для теплоёмкости произвольного процесса:

• Представим полный дифференциал внутренней энергии через частные производные по параметрам и:

После чего формулу (9.6) перепишем в виде

Соотношение (9.7) имеет самостоятельное значение, поскольку определяет теплоёмкость в любом термодинамическом процессе и для любой макроскопической системы, если известны калорическое и термическое уравнения состояния.

• Рассмотрим процесс при постоянном давлении и получим общее соотношение междуи.

Исходя из полученной формулы, можно легко найти связь между теплоемкостями ив идеальном газе_. Этим мы и займемся. Впрочем, ответ уже известен, мы его активно использовали в 7.5.

Уравнение Роберта Майера

Выразим частные производные в правой части уравнения (9.8), с помощью термического и калорического уравнений, записанных для одного моля идеального газа. Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры и не зависит от объёма газа, следовательно

Из термического уравнения легко получить

Подставим (9.9) и (9.10) в (9.8), тогда

Окончательно запишем

Вы, надеюсь, узнали (9.11). Да, конечно, это уравнение Майера. Еще раз напомним, что уравнение Майера справедливо только для идеального газа.

9.3. Политропические процессы в идеальном газе

Как отмечалось выше первое начало термодинамики можно использовать для вывода уравнений процессов, происходящих в газе. Большое практическое применение находит класс процессов, называемых политропическими. Политропическим называется процесс, проходящий при постоянной теплоемкости .

Уравнение процесса задается функциональной связью двух макроскопических параметров, описывающих систему. На соответствующей координатной плоскости уравнение процесса наглядно представляется в виде графика - кривой процесса. Кривая, изображающая политропический процесс, называется политропой. Уравнение политропического процесса для любого вещества может быть получено на основе первого начала термодинамики с использованием его термического и калорического уравнений состояния. Продемонстрируем, как это делается на примере вывода уравнения процесса для идеального газа.

Вывод уравнения политропического процесса в идеальном газе

• Требование постоянства теплоёмкости в процессе позволяет записать первое начало термодинамики в виде

• Используя уравнение Майера (9.11) и уравнение состояния идеального газа, получаем следующее выражение для

• Разделив уравнение (9.12) на Tи подставив в него (9.13) придем к выражению

• Разделив () на, находим

• Интегрированием (9.15), получаем

где

Это уравнение политропы в переменных

Исключая из уравнения (), с помощью равенстваполучаем уравнение политропы в переменных

где

Параметр называется показателем политропы, который может принимать согласно () самые разные значения, положительные и отрицательные, целые и дробные. За формулой () скрывается множество процессов. Известные вам изобарный, изохорный и изотермический процессы являются частными случаями политропического.

К этому классу процессов относится также адиабатный или адиабатический процесс. Адиабатным называется процесс, проходящий без теплообмена (). Реализовать такой процесс можно двумя способами. Первый способ предполагает наличие у системы теплоизолирующей оболочки, способной изменять свой объем. Второй – заключается в осуществлении столь быстрого процесса, при котором система не успевает обмениваться количеством теплоты с окружающей средой. Процесс распространения звука в газе можно считать адиабатным благодаря его большой скорости.

Из определения теплоемкости следует, что в адиабатическом процессе . Согласно

где – показатель адиабаты.

В этом случае уравнение политропы принимает вид

Уравнение адиабатного процесса (9.20) называют также уравнением Пуассона, поэтому параметр часто именуют постоянной Пуассона. Постояннаяявляется важной характеристикой газов. Из опыта следует, что ее значения для разных газов лежат в интервале 1,30 ÷ 1,67, поэтому на диаграмме процессовадиабата «падает» более круто, чем изотерма.

Графики политропических процессов для различных значений представлены на рис. 9.1.

Рис. 9.1.

На рис. 9.1 графики процессов пронумерованы в соответствии с табл. 9.1.

Таблица. 9.1.

Номер политропы на рис. 9.1	Значение показателя политропы	Уравнение политропы ()	Название процесса
1		st	изобарический
2			изохорический
3			изотермический
4			адиабатический
5			-
6			-
7			-

Знание показателя политропы позволяет без особого труда рассчитать теплоёмкость системы. Знание теплоёмкости в свою очередь даёт возможность рассчитать количество теплоты, сообщённое макросистеме в данном политропическом процессе. Действительно, изследует

Тогда, бесконечно малое количество теплоты, сообщённое макросистеме в политропическом процессе равно

.

Соответственно полное количество теплоты, полученное системой при изменении её температуры от до, определяется простой формулой

Зная , можно определить макроскопическую работу, совершенную системой в политропическом процессе, с помощью уравнения первого начала в интегральной форме и формулы

Таким образом, мы можем получить исчерпывающую информацию об энергообмене системы с окружающей средой.

Теперь уместно поставить следующие вопросы. Что делать, если процесс не политропический? Можно ли глядя на график процесса, догадаться, что это не политропа?

Иногда можно. Взгляните на рис. 9.2. Это уж точно не политропы.

Рис. 9.2.

Для подобных процессов количество теплоты рассчитать не так просто как в случае политропных процессов так как теплоёмкость системы будет зависеть от температуры. Соответственно

Полное количество теплоты, полученное системой в произвольном процессе, можно рассчитать только интегрированием

Вычисление теплоемкости и количества теплоты в различных процессах является внутренней подзадачей многих учебных задач, с которыми вы встретитесь при изучении термодинамики.