Подсчёт количества частиц на определённой высоте

Эмульсия помещалась в плоскую стеклянную кювету глубиной 0,1 мм и рассматривалась с помощью микроскопа.

Измерения нужно было производить при ничтожных разностях высот – несколько сотых миллиметра. Объектив микроскопа был сильного увеличения с малой глубиной фокуса, так что одновременно можно было видеть только частицы, находящиеся внутри очень тонкого горизонтального слоя с толщиной порядка микрометра.

Фокусируя микроскоп на определённый горизонтальный слой эмульсии, можно было сосчитать число частиц в этом слое. Разность высот измерялась микрометрическим винтом микроскопа. В результате эксперимента была подтверждена экспоненциальная зависимость

Эти уникальные опыты были выполнены в 1908 – 1911 годах и имели большое значение для утверждения идей молекулярной теории. Работы Перрена доказали применимость распределения Больцмана не только к молекулам, но и к макрочастицам. Измерения числа частиц на разных высотах позволили Перрену определить постоянную Больцмана и постоянную Авогадро . Полученное им на различных эмульсиях значениележало в пределах, что находится в хорошем согласии со значениями, полученными впоследствии другими, более точными методами.

Напомним, что современное значение равно.

6.5. Барометрическая формула

Если рассматривать идеализированную изотермическую атмосферу, где ине зависят от высоты, тогда из формулы Больцмана для концентрации (6.8) и выражения для давления получимбарометрическую формулу

На рисунке 6.4 показаны два графика )для одного и того же газа при разных температурах. Обратите внимание, что криваяначинается в одной точке независимо от температуры

Земная атмосфера не является равновесной, именяются с высотой. Поэтому барометрическая формула (6.14) имеет очень ограниченную область применения.

На практике для описания зависимости давления от высоты используется международная барометрическая формула, которая имеет область определения до 11 км

Рис. 6.4.

где - давление в кПа,– высота в км. Эта формула получена эмпирическим способом при некоторых средних условиях, в частности, считается, что среднее значение температуры по высоте равно

6.6. Закон распределения Максвелла – Больцмана

Вывод распределений Максвелла и Больцмана проводился нами дедуктивным методом из распределения Гиббса. Выросшие из одного корня, эти распределения могут быть объединены в одно – закон распределения Максвелла – Больцмана. Приведём одну из его формулировок.

Среднее значение молекул в объёмевблизи точки, имеющих проекции скорости в интервалах,,, определяется как

где

Математическая структура и физический смысл (6.16) имеют простое толкование

,

– это общее число молекул в объёме(по Больцману) и оно умножается на долю молекул

проекции скоростей которых лежат в указанных выше интервалах (распределение Максвелла).

Если обе части уравнения (6.16) разделить на объём , то получим выражение для средней концентрации молекулв данном месте пространства, проекции скоростей которых находятся в соответствующих интервалах:

здесь использовано обозначение полной энергии молекулы . Формула (6.17) выражает распределение Максвелла – Больцмана в более компактной математической форме чем (6.16), не меняя его сути. При решении конкретных задач мы используем то или иное выражение закона, исходя из соображений удобства.

Контрольные вопросы

1. Какие внешние силовые поля совместимы с состоянием термодинамического равновесия статистической системы?

2. На какой вопрос отвечает распределение Больцмана? Запишите общий вид этого распределения.

3. Как определить константу в формуле для концентрации частиц в потенциальном поле?

4. Запишите формулы для концентрации частиц в однородном поле сил тяжести и в поле центробежных сил. Поясните смысл в каждом случае.

5. Постройте примерные графики зависимостей и.

6. Как подсчитать полное число частиц в центрифуге, зная зависимость?

7. Как подсчитать полное число частиц в бесконечно высоком столбе атмосферы (=const), зная зависимость?

8. С какой целью в своих экспериментах Ж. Перрен смешивал шарики гуммигута с водой? Что из себя представляет гуммигут?

9. Какие экспериментальные задачи пришлось решать Ж. Перрену для подтверждения распределения Больцмана?

10. Значения каких величин определил Ж. Перрен в своих опытах? Получите формулы для нахождения этих величин.

11. Запишите барометрическую формулу. Какова область ее применимости?

12. Сформулируйте закон распределения Максвелла-Больцмана. Какова область его применимости?

ЛЕКЦИЯ 7

ТЕОРЕМА О РАВНОРАСПРЕДЕЛЕНИИ ЭНЕРГИИ ПО СТЕПЕНЯМ СВОБОДЫ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ

Прямые вычисления на основе распределения Максвелла убедительно показали, что на каждую степень свободы поступательного движения молекулы приходится одна и та же величина средней энергии равная .

Больцман обобщил этот факт в виде классической теоремы о равнораспределении средней энергии по степеням свободы.Теорема расширяет идею о равномерном распределении энергии для многоатомных молекул и идеальных твердых тел.