4.4. Распределение Максвелла по компонентам скорости

Формальный переход от сферической системы координат в пространстве скоростей (рис. 4.2) к декартовой (рис. 4.4) приводит закон Максвелла к следующему виду:

Это распределение отвечает на вопрос: какова вероятность того, что молекула обладает скоростью с компонентами в интервалах,,?

Как видно из (4.25), вероятность выражается произведением одномерных вероятностей, поскольку по своей сути является вероятностью произведения трех независимых событий:

где

Рис. 4.4.

Аналогичный вид имеют вероятности и. Одномерная плотность вероятности типасовпадает с гауссовской функцией распределения и на графике (рис.4.5) изображается симметричным колокольчиком.

Площадь заштрихованной полоски на рис. 4.5 равна вероятности того, что проекция скорости молекулы лежит в интервале .

Рис. 4.5.

Приведённые выше формулы распределения Максвелла для сферической и декартовой систем координат позволяют находить средние значения различных микроскопических и макроскопических параметров, зависящих от абсолютной скорости или отдельных компонент скорости в соответствии с общей процедурой усреднения.

Для применения этих формул к системе частиц необходимо использовать теорему о сложении вероятностей. Число частиц, скорости которых заключены между,

Относительное число частиц со скоростями в том же интервале

Применение одномерного распределения к системе частиц даёт соответствующие формулы, определяющие абсолютное и относительное количество частиц с компонентами скорости , заключёнными в интервале.

Таким образом, абстрактная величина вероятности проявляется в конкретной и ясной форме: это не что иное, как доля частиц, обладающих той или иной скоростью.

4.5. Экспериментальная проверка распределения Максвелла

Закон Максвелла неоднократно подвергался экспериментальной проверке, начиная с опыта Штерна, осуществлённого в 1920 году. В большинстве опытов используется такое явление как эффузия. С помощью нескольких щелей получают узкий молекулярный пучок, который направляется на устройство, сортирующее молекулы по скоростям, после чего частицы регистрируют тем или иным способом. Для сортировки молекул наиболее часто используют метод вращающихся дисков (опыт Ламмерта) и метод вращающегося цилиндра (опыт Цартмана).

На схеме 4.5.1 дано краткое описание этих методов. Более подробное их описание можно найти в [14].

Существуют и принципиально иные способы проверки данного закона. Например, наблюдается экспериментально уширение линии спектра излучения, движущихся возбуждённых молекул газа за счёт эффекта Допплера. Ширина спектральных линий определяется распределением молекул по скоростям.

Схема 4.5.1.

Опытные проверки блистательно подтвердили справедливость распределения Максвелла.

Контрольные вопросы

1. На какой вопрос отвечает распределение Гиббса? Какова область его применимости?

2. Как используется условие при выводе закона Гиббса?

3. Как определяется параметр в распределении Гиббса?

Какие существуют основания считать, что ?

4. Запишите распределение Гиббса в обобщенной форме, если энергия системы является

а) непрерывной случайной величиной;

б) дискретной случайной величиной. Поясните смысл всех сомножителей в формуле.

5. На какой вопрос отвечает распределение Максвелла?

6. Что называется пространством скоростей? С какой целью эта модель используется при выводе распределения Максвелла?

7. Как вычислить нормировочную постоянную в формуле Максвелла?

8. Как определяется температура в статистике?

9. График плотности вероятности выглядит как асимметричный колокольчик, а график– как симметричный колокольчик. С чем это связано?

10. Какие скорости молекул называются характерными? Чему они равны?

11. Как определить долю частиц в системе, обладающих абсолютной скоростью в интервале ?

12. Как осуществлялась проверка распределения Максвелла в опыте Цартмана и в опыте Ламмерта?

ЛЕКЦИЯ 5

МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ И МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ

Критерием справедливости или истинности любой физической теории является эксперимент. Напомним, что одной из основных задач молекулярной статистики является установление связи между средними микроскопическими параметрами молекулярной системы и её макроскопическими характеристиками. Все макроскопические параметры системы могут быть получены из микроскопических представлений, но их экспериментальное определение требуетмакроскопических измерений.

Начнём с рассмотрения такого макроскопического параметра как давление. По определению, давление – это отношение силы, действующей нормально к поверхности, к величине этой поверхности. Силу можно выразить через изменение импульса:

В газе импульс передаётся стенке молекулами, сталкивающимися с ней. Таким образом, из (5.1) следует, что давление газа – это величина, численно равная нормальной составляющей импульса, передаваемого молекулами газа за 1 секунду стенке сосуда площадью 1 квадратный метр. Исходя из этого заключения, проведём расчёт давления газа.