4.2. Вывод распределения Максвелла

Описание системы

Система представляет собой классический идеальный газ, состоящий из тождественных частиц, в состоянии термодинамического равновесия. Внешние силовые поля отсутствуют. В качестве подсистемы рассматривается одна молекула, которая может обмениваться энергией с другими подсистемами (молекулами) в результате столкновений.

Актуальные свойства модели системы

• Подсистем – молекул очень большое число, следовательно, условие

выполняется, поэтому для вывода закона можем использовать распределение Гиббса.

• Поскольку силовых полей нет, частица обладает только кинетической энергией

Постановка задачи

Какова вероятность того, что частица обладает абсолютной скоростью в интервале?

Вывод закона

• По условию частица обладает только кинетической энергией, зависящей от абсолютной скорости (4.11), поэтому удобно перейти к новому аргументу

Следуя (4.10), запишем:

где – число микросостояний, которые приводят частицу к одной и той же абсолютной скорости. Для его нахождения нам придётся вообразить пространство скоростей. Этот приём использовал Максвелл в своих оригинальных работах.

• Рассмотрим прямоугольную систему координат с осями в которой отложим все возможные векторы скоростей любой молекулы газа. Концы этих векторов –скоростные точки. Совокупность всех скоростных точек образует трёхмерное пространство –пространство скоростей(рис. 4.2). Вследствие равноправности всех направлений движения расположение точек относительно начала координат будет сферически симметричным. Поэтому плотность точек может зависеть только от модуля скорости, а не от её направления

Рис. 4.2.

• Число микросостояний с абсолютной скоростью в интервале

пропорционально объёму бесконечно тонкого шарового слоя со средним радиусоми толщиной (рис. 4.2).

Объём этого слоя равен

следовательно,

• Подставим (4.14) в (4.12), тогда

Постоянная , это произведение двух константи. Её значение находится из условия нормировки вероятностей

Вычислив интеграл в знаменателе (4.16), получим

ответ:

Эта формула представляет собой закон распределения Максвелла по абсолютным значениям скорости.

Прежде чем переходить к анализу полученной формулы проясним значение параметра .

Найдём среднюю кинетическую энергию молекулы:

Таким образом, характеризует важнейшую величину статистической системы – среднюю кинетическую энергию молекул.

Используя формальное определение температуры (4.6) запишем

Формулы (4.19, 4.20) являются основными определениями температуры в статистике. Из них следует, что температура – это мера средней кинетической энергии молекул.

4.3. Плотность вероятности и характерные скорости распределения Максвелла

Плотность вероятности распределения (4.17) обозначим как и запишем её в явном виде, используя определение температуры,

Примерный вид для различных температур приведён на рис. 4.3. Борьба двух противоположных тенденций, а именно, убывание вероятности состояний с ростом скорости и возрастание плотности состояний приводят к образованию максимума функции и несимметричной форме колокольчика на графике.

Рис. 4.3.

С увеличением температуры максимум функции смещается в сторону больших скоростей, а его величина уменьшается, при этом площадь под каждой кривой остаётся равной единице.

Схема 4.3.1.

Характерные скорости распределения Максвелла
Наиболее вероятная скорость .	Средняя скорость	Средняя квадратичная скорость .
Соответствует максимуму функции и определяется из условия	По определению среднего

Обратите внимание, что все три характерные скорости пропорциональны, их числовые коэффициенты имеют очень близкие значения и находятся в пределах от до.

Характерные скорости молекул азота и кислорода при температуре T=300Kравны примерно 400 – 500 м/с. Их величины сравнимы со скоростью звука в воздухе.