Средняя длина свободного пробега молекулы

Продолжим анализ формулы (17.1). Вероятность столкновения, как можно заметить, растет пропорционально пройденному молекулой пути . Длина пути, при которой эта вероятность равна единице, называетсясредней длиной свободного пробега молекул.

Согласно (17.1) получаем равенство

из которого следует, что

Формула (17.5) справедлива, если система состоит только из тождественных молекул. Если молекулы в системе разные, то надо учесть вероятность столкновений, как тождественных молекул, так и разных молекул друг с другом. В этом случае

Здесь и- концентрации молекул двух компонент;;и–средняя длина свободного пробега молекул компоненты 1 и компоненты 2 соответственно.

Кинематические параметры и

Из определения параметров иестественным образом определяются параметрыи. Действительносреднее время между двумя столкновениями– это путь, деленный на среднюю скорость:

Тогда средняя частота столкновений будет равна

Сделаем количественную оценку четырех кинематических параметров на примере молекулярного азота при нормальных условиях, т.е. в приближении идеального газа:

Здесь использовалось число Лошмидта

После рассмотрения характеристик столкновений молекул нашей ближайшей задачей будет установление связи между макроскопическими коэффициентами переноса в идеальном газе с его кинематическими параметрами.

17.2. Обобщенное уравнение переноса

Решение поставленной задачи будет базироваться на выводе обобщенного уравнения переноса. Используемый для этой цели метод средней длины свободного пробега является оценочным. Главное достоинство такого подхода состоит в его простоте и акценте на физической сущности явления. Ожидаемые результаты могут отличаться от точных числовыми коэффициентами. Точные решения следуют из кинетического уравнения Больцмана.

Вывод обобщенного уравнения процесса Описание системы

Рассматриваемая система – идеальный газ в слабо неравновесном состоянии. характеризует некоторое молекулярное свойство, отнесенное к одной молекуле газа (энергия, импульс, концентрация, электрический заряд).– функция координаты, медленно изменяющаяся вдоль одного направления, например, но не зависящая от времени.

Актуальные свойства модели процесса

• При наличии градиента будет происходить движение или переносв направлении его уменьшения.

• Перенос осуществляется встречными молекулярными потоками. Плотность этих потоков описывается известным уравнением эффузии

.

• Функциональная зависимость G(x)не известна.

• Чтобы восполнить этот пробел воспользуемся разложением в ряд Тейлора в окрестности некоторой точки. В качестве малого параметра можно взять любую величину:. Неравенство приведет впоследствии к неопределенности числового множителя в уравнении переноса.

Постановка задачи

Требуется получить обобщенное уравнение переноса на основе микроскопических представлений.

Вывод уравнения

• Величину малого параметра обычно берут равной,,… Пусть.

• Изобразим встречные молекулярные потоки на схематическом рисунке (рис. 17.3), где ось направлена вдоль градиента.

Рис.17.3.

• Величина достаточно мала, поэтомуна таком расстоянии от 0 можно представить в виде:

• Тогда, плотность потока в направлении отрицательных значений осиХзапишем как

Плотность потока в направлении положительных значений осиравна

• Суммарная плотность потока в положительном направлении оси Х :

• При коэффициент получается равным, а приполучается, что он равен. В этом и проявляется неопределенность (приближенность) метода средней длины свободного пробега. Точное значение числового коэффициента находится из кинетического уравнения Больцмана и равно, учитывая это, запишем:

Это и есть обобщенное уравнение переноса.