16.2. Стационарные уравнения переноса в газах, жидкостях и твердых телах
Типичными явлениями переноса, если отклонения от равновесия невелики, являются теплопроводность, диффузия (самодиффузия), внутреннее трение, электропроводность. Подобные процессы могут быть стационарными и нестационарными. Ограничимся рассмотрением только стационарных процессов.
Уравнения переноса были получены в XIX веке в рамках феноменологической, а точнее, сугубо математической теории. Все они имеют однотипную структуру, отражающую причинно-следственную связь. В качестве причины рассматривается наличие градиента некоторого макроскопического параметра, следствием же является возникновение потока определенного молекулярного свойства. Реакция системы на внешнее воздействие в конкретных процессах переноса однозначно определяется принципом Ле Шателье-Брауна.
Например, если температура в системе меняется от точки к точке (grad T ≠ 0), то внутри системы возникнет поток энергии и именно в том направлении, чтобы «уменьшить несправедливость» и выровнять температуру во всей системе. Аналогичным образом реагирует система, в которой есть градиент концентрации каких-то молекул, а именно возникновением потока этих молекул, направленного так, чтобы равномерно распределить молекулы по объему занимаемому системой. Конечно, если система неизолированная, то можно поддерживать постоянные значения градиентов макроскопических параметров. Система, разумеется, не сможет перейти в равновесное состояние, но потоки молекулярных свойств будут существовать всё то время, которое будут существовать градиенты параметров.
Рассмотрим стационарные одномерные уравнения теплопроводности, самодиффузии и внутреннего трения.
Уравнение теплопроводности
Уравнение теплопроводности называется уравнением Фурье и имеет вид
где
– плотность потока теплоты (внутренней
энергии),
– градиент температуры вдоль направления
оси
,
– коэффициент теплопроводности
(теплопроводность). Размерности входящих
в уравнение величин таковы:
Знак
« - » в правой части (16.1) обусловлен тем,
что направление плотности потока
противоположно градиенту
(рис. 16.1).
Рис.16.1.
Уравнение самодиффузии
Уравнение самодиффузии называется уравнением Фика:
где
- плотность потока концентрации «меченых»
атомов, т.е. атомов, близких по размерам
и свойствам атомам фона, например
изотопов.
– градиент концентрации меченых атомов,
а
– коэффициент самодиффузии. Размерности
выше указанных величин таковы:
Знак « - » в правой части (16.2) присутствует на том же основании, что и в (16.1). Рис. 16.2 поясняет процесс самодиффузии.
Рис. 16.2.
Уравнение внутреннего трения
Прежде чем записать уравнение внутреннего
трения представьте себе неограниченную
среду (газ или жидкость), движущуюся
плоско-параллельными слоями в
горизонтальном направлении. Скорость
этого макроскопического движения
меняется в направлении, перпендикулярном
к слоям. Это направление примем за ось
(Рис. 16.3).
Рис.16.3.
Допустим для определенности, что скорость
возрастает с возрастанием
.
Рассечем мысленно среду на две половины
плоскостью
,
параллельной слоям. Тогда верхняя
половина среды будет действовать на
нижнюю с силой, направленной вправо, а
нижняя на верхнюю – с силой, направленной
влево. Это и есть силы внутреннего трения
или вязкость.
Уравнение внутреннего трения называется уравнением Ньютона
где
- плотность потока импульса,
- градиент скорости упорядоченного
движения молекул,
- коэффициент вязкости (динамическая
вязкость). Размерности названных величин
таковы:
Направления плотности потока импульса
и
противоположны (cмотрите
поясняющий рис. 16.4).
Представленные выше уравнения переноса справедливы для газов, жидкостей и твердых тел. Специфика системы «зашита» в коэффициентах переноса. Их значения зависят от внутренней структуры вещества и его состояния (температуры, давления). В рамках макроскопического подхода коэффициенты переноса определяют из экспериментов. Молекулярно-кинетическая теория позволяет получить значения этих коэффициентов с использованием соответствующих моделей материальных тел.
Рис. 16.4.
