Вращательное броуновское движение

Такое движение в теоретическом описании проще поступательного и легче поддаётся опытному исследованию. Это можно сделать с помощью небольшого лёгкого зеркала, подвешенного на упругой нити. Под действием ударов молекул окружающего воздуха зеркальце совершает беспорядочные крутильные колебания около положения равновесия.

Закон сохранения энергии при вращательных колебаниях можем записать следующим образом:

где – момент инерции зеркала относительно оси кручения нити,- угол поворота зеркала от положения равновесия,– модуль кручения нити.

Согласно теореме о равнораспределении энергии по степеням свободы получим следующее равенство

Для крутильных колебаний зеркала находим

Эту величину можно измерить. При 4.

– это и есть отклонение от положения равновесия, обусловленное вращательным броуновским движением.

Прецизионные измерения физических величин чувствительны к дрожанию мелких подвижных частей приборов (стрелок, зеркал на повесе и т.д.). Вращательное броуновское движение устанавливает предел точности приборов, содержащих подобные элементы.

7.4. Броуновский критерий точности физических измерений

Не только механические, но и электрические флуктуации вносят вклад в погрешность приборов. Тепловое движение электронов вызывает флуктуации электронной плотности, что в свою очередь приводит к флуктуациям электрического потенциала в проводнике. Белый, или тепловой шум в резисторах описывается формулой Найквиста

где – падение напряжения на активном сопротивленииполоса частот пропускающего устройства.

В 30-е годы двадцатого века был сформулирован броуновский критерий точности физических измерений,который накладывает ограничение на максимально допустимую точность измерения приборов.

При любом однократном измерении отклика , т.е. реакции прибора на внешнее воздействие, относительная погрешностьне будет меньше, чем величина

-броуновский стандарт

Формула для броуновского критерия точности имеет вид

Для рассмотренных выше примеров:

Для снижения погрешности измерений существует три способа:

• Многократное измерение, т.е. накопление сигнала.

Уменьшение броуновского стандарта обратно пропорционально , где– число опытов, в свою очередьгде– время измерений. Например: если, то при увеличении времени измерений доброуновский стандарт уменьшается в 10 раз ().

• Уменьшение полосы частот пропускающего устройства (узкополосная измерительная схема).

• Снижение температуры , в результате чего уменьшаются абсолютные значения самих флуктуаций.

Во всех рассмотренных случаях (поступательное и вращательное броуновское движение, найквистовский шум) дисперсии случайных величин пропорциональны . Это универсальное свойство проявляется в самых различных физических явлениях. Поэтому температуру можно рассматривать как меру флуктуаций случайных величин.

7.5. Классическая теория теплоёмкости многоатомных газов. Область её применимости

Последовательное рассмотрение такой важной характеристики макросистемы как теплоёмкость нас ждёт в ближайшем будущем при изучении основ термодинамики. Забегая вперёд, отметим, что теплоёмкость зависит от процесса, который совершает система. Наиболее широкое применение, как в теории, так и на практике имеют молярные теплоёмкости для двух процессов: при постоянном объёме и при постоянном давлении . Между собой они связаны соотношением, которое называется уравнением Майера:

Получим выражения для ичерез статистические степени свободы. Будем исходить из определения молярной теплоёмкости при постоянном объёме

Для её вычисления внутреннюю энергию моля идеального газа запишем через статистические степени свободы согласно (7.3)

Возьмём производную от (7.12) по температуре, это и будет

Выражение для получим из уравнения (7.10).

Как видно из полученных формул (7.13) и (7.14), - постоянная величина, однако числоможет принимать разные значения в зависимости от того, какая механическая модель молекулы оказывается адекватной в данной области температур. В рамках самой классической теории предсказать значение,т.е. установить критерий применимости модели невозможно. Анализ экспериментально измеренных теплоёмкостей газов в широком диапазоне температур свидетельствует, что существуют области, где формулы (7.13) и (7.14) вовсе неприменимы. Недостаточность классической теории теплоёмкостей, обозначенные трудности были преодолены после построения теории на квантовой основе.

В качестве примера рассмотрим экспериментально наблюдающуюся температурную зависимость для молекулярного водорода (Рис. 7.2).

Рис. 7.2.

Из графика видно, что при низкой температуре молекула водорода ведёт себя как точечная частица, для которой характерны только поступательные степени свободы ). При достижении температурыначинают «включаться» вращательные степени свободы, а при– колебательные. Области значений, гдерастёт с увеличением температуры – области применимости квантовых моделей материальных тел. Расчёт характеристических температур является основой для выделения областей применимости различных моделей. Отметим, что температурадля всех двухатомных газов значительно нижеводорода. Поэтому для двухатомных молекул в широком диапазоне температур, от нескольких кельвин до тысячи,.

Для трехатомных и более сложных молекул газа всегда меньше 273, поэтому колебательные степени свободы у таких молекул «включены» во всём диапазоне положительных температур по шкале Цельсия.