10.2. Теоремы Карно

Основные положения теории тепловых машин Сади Карно сформулировал в виде двух теорем, которые доказываются от противного [12]. Мы приведём лишь формулировки этих теорем и сфокусируем внимание на их приложениях (схема 10.2.1).

Схема 10.2.1.

Далее мы подробно рассмотрим каждое из приложений этих двух теорем. Начнем с построения абсолютной термодинамической шкалы температур.

Термодинамическая шкала температур

Поскольку КПД не зависит от рабочего тела, то можно представить следующую процедуру построения шкалы температур.

• В качестве нагревателя машины Карно берется некоторое стандартное тело, например, вода, кипящая при атмосферном давлении.

• В качестве холодильника выбирается другое стандартное тело, например лед, тающий при атмосферном давлении.

• Разность температур и(сами температуры пока не известны) делится на сто частей, чем устанавливается размер градуса абсолютной термодинамической шкалы температур.

• Осуществляется обратимый цикл Карно с каким-либо телом.

• Измеряются и. Согласно (10.2) и (10.9)

Кроме того . Из этих двух уравнений определяеми. Если требуется измерить температурупроизвольного тела, то это тело следует использовать в качестве нагревателя, сохранив прежний холодильник с температурой. Затем необходимо осуществить цикл Карно и измеритьи. Тогда справедливо равенство

Отсюда находится искомая температура .

Построенная таким образом шкала температур Кельвина, как мы уже знаем, совпадает со шкалой газового термометра. Из уравнения (10.10) следует, что нулем температуры является температура, при которой равно нулю. Более строгое рассмотрение принципов построения рациональной термодинамической шкалы температур дано в [14].

10.3. Метод циклов

С помощью первой теоремы Карно можно получить много важных соотношений между физическими величинами в дифференциальной форме, характеризующими систему в состоянии термодинамического равновесия. Для этого надо заставить систему надлежащим образом осуществить цикл Карно и применить к нему теорему Карно. Этот метод называетсяметодом циклов. Проясним его сущность на примере решения следующей задачи.

Задача о нахождении зависимости внутренней энергии макроскопического тела от его объема

Рассмотрим произвольное физически однородное тело, состоя­ние которого характеризуется двумя параметрами и. Будем считать, что

известно его термическое уравнение состояния

Для того, чтобы в соответствии с методом циклов получить зависимость энергии от объема в дифференциальной форме, необходимо осуществить бесконечно малый цикл Карно над рассматриваемым телом таким образом, чтобы температуры изотерм отличались на . Изобразим подобный цикл на рис. 10.3. Как видно, верхняя изотерма имеет температуру, а нижняя.

Запишем КПД цикла Карно с одной стороны через температуры, а с другой – через полученное телом количество теплоты и совершенную им работу

Работа , произведенная телом в результате цикла 1234, численно равна заштрихованной площади параллелограмма 1234. Чтобы вычислить ее, проведем прямые 1-6 и 2-5, параллельные оси давлений. Ясно, что искомая площадь равна площади параллелограмма 1256.

Высота этого параллелограмма численно равна приращению

– объема при изотермическом процессе 1-2.

Рис. 10.3.

Основание же 6-1 дает приращение давления при повышении температуры на, когда объем системы поддерживается постоянным. Поэтому

Для работы цикла, которая численно равна его площади, получаем

Вычислим теперь количество теплоты отданное нагревателем телу на изотерме 1-2.Пренебрегая изменениями давления на участке 1-2, запишем согласно первому началу

Так как на изотерме 1-2 температура постоянна, то

Подставив (10.14) в (10.13), получим

Теперь вернемся к (10.11). Выразим числитель и знаменатель правой части этого уравнения согласно (10.12) и (10.15). Тогда получим

Из (10.16) легко выразить частную производную. В итоге получаем искомое решение

Подобным образом можно найти зависимость давления насыщенного пара от температуры или закон изменения поверхностного натяжения с температурой и множество других закономерностей.