- •ВВЕДЕНИЕ
- •ГЛАВА 1 ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
- •§1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
- •Пример 1.1.
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 1.1.
- •а) разложив его по элементам i-й строки; б) разложив его по элементам j-го столбца; в) получив предварительно нули в i-й строке.
- •§2. МАТРИЦЫ
- •Пример 1.2.
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 1.2.
- •Даны две матрицы А и В.
- •§3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
- •Пример 1.3.
- •Пример 1.4.
- •Пример 1.5.
- •Пример 1.6.
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 1.3.
- •Задание 1.4.
- •В заданиях 1.5-1.6 решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.
- •Задание 1.5.
- •Задание 1.6.
- •§4. РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
- •Пример 1.7.
- •Пример 1.8.
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 1.7.
- •Решить матричное уравнение и сделать проверку
- •ГЛАВА 2 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
- •Пример 2.1
- •Пример 2.2
- •Пример 2.3
- •Пример 2.4
- •Пример 2.5
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 2.1.
- •Задание 2.2.
- •Задание 2.3
- •Задание 2.4.
- •Задание 2.5.
- •ГЛАВА 3 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
- •§1. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
- •Пример 3.1
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 3.1.
- •§2. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
- •Пример 3.2
- •Пример 3.3
- •Пример 3.4
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 3.2
- •Задание 3.3
- •Задание 3.4
- •Найти угол между плоскостями.
- •§3 ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
- •Пример 3.5
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 3.5
- •Написать каноническое уравнение прямой.
- •§4. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
- •Пример 3.6
- •Пример 3.7
- •Пример 3.8
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 3.6
- •Найти точку пересечения прямой и плоскости.
- •Задание 3.7
- •§5. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
- •Пример 3.9
- •Пример 3.10
- •Пример 3.11
- •Пример 3.12
- •Пример 3.13
- •Пример 3.14
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 3.8.
- •ГЛАВА 4 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
- •§ 1. ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
- •Пример 4.1
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 4.1
- •Вычислить пределы числовых последовательностей.
- •§ 2. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ
- •Пример 4.2
- •Вычислить пределы дробно-рациональных функций:
- •Пример 4.3
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 4.2.
- •Вычислить пределы дробно-рациональных функций
- •Задание 4.3.
- •Вычислить пределы иррациональных функций
- •§ 3. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ.
- •Пример 4.4
- •Пример 4.5
- •Пример 4.6
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 4.4.
- •Вычислить пределы, используя первый замечательный предел и его следствия.
- •Задание 4.5.
- •Задание 4.6
- •§ 4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
- •Пример 4.7
- •Пример 4.8
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 4.7.
- •Задание 4.8.
- •§ 1.ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
- •Пример 5.1
- •Пример 5.2
- •Пример 5.3
- •Пример 5.4
- •Пример 5.5
- •Пример 5.6
- •Пример 5.7
- •Пример 5.8
- •Пример 5.9
- •Пример 5.10
- •Пример 5.11
- •Пример 5.12
- •Пример 5.13
- •Задания для самостоятельного решения.
- •В заданиях 5.1-5.13 вычислить производные функций, используя таблицу производных и правила дифференцирования.
- •Задание 5.1
- •Задание 5.2.
- •Задание 5.3.
- •Задание 5.4.
- •Задание 5.5.
- •Задание 5.6.
- •Задание 5.7.
- •Задание 5.8.
- •Задание 5.9.
- •Задание 5.10.
- •Задание 5.11.
- •Задание 5.12.
- •Задание 5.13.
- •§ 2. ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
- •Пример 5.14
- •Пример 5.15
- •Пример 5.16
- •Задания для самостоятельного решения.
- •В заданиях 5.14-5.16 вычислить следующие производные, используя метод логарифмического дифференцирования
- •Задание 5.14.
- •Задание 5.15.
- •Задание 5.16
- •§ 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НЕЯВНО И ПАРАМЕТРИЧЕСКИ
- •Пример 5.17
- •Пример 5.18
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 5.17.
- •Задание 5.18.
- •§4. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ
- •Пример 5.19
- •Пример 5.20
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя.
- •Задание 5.19
- •Задание 5.20.
- •§ 5. ПОЛНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
- •Пример 5.21
- •Пример 5.22
- •Пример 5.23
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Провести полное исследование функций и построить их графики
- •Задание 5.21.
- •Задание 5.22.
- •Задание 5.23.
- •§ 6. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ
- •Пример 5.24
- •Пример 5.25
- •Задания для самостоятельного решения.
- •С помощью дифференциала приближенно вычислить данные величины и оценить допущенную относительную погрешность (с точностью до двух знаков после запятой).
- •Задание 5.24.
- •Задание 5.25.
A |
1 2 |
|
3 |
2 |
|
1; |
A |
1 3 |
|
3 |
1 |
|
|
1; |
A |
1 4 |
3 |
1 |
|
3; |
||||||
11 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
21 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
31 |
|
3 |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
A |
1 3 |
|
|
2 |
|
9; |
A |
1 4 |
|
5 |
|
1 |
|
10; |
A |
1 5 |
|
|
5 |
1 |
|
|
11 ; |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
12 |
|
|
5 |
1 |
|
|
|
22 |
|
|
5 |
1 |
|
|
|
32 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A |
1 4 |
|
1 |
3 |
|
13; |
A |
1 5 |
|
5 |
|
3 |
|
25; |
A |
1 6 |
|
5 |
3 |
|
|
18. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
13 |
|
|
5 |
2 |
|
|
|
23 |
|
|
5 |
2 |
|
|
33 |
|
|
1 |
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
3 |
|
||
|
|
|
A 1 |
|
9 |
|
10 |
11 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
19 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
13 |
25 |
18 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Так как X |
B A 1 , то |
|
|
|||||||
|
1 |
|
8 |
3 |
|
0 |
|
1 |
1 |
|
3 |
||
X |
|
5 |
9 |
|
0 |
|
9 |
10 |
|
11 |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
19 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
15 |
|
0 |
|
13 |
25 |
|
18 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
19 |
|
|
|
38 |
|
57 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
76 |
|
|
|
95 |
114 |
4 |
5 |
6 . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
19 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
133 |
152 |
171 |
7 |
8 |
9 |
||||||
|
|
|
|
||||||||||
Проверка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
2 |
3 |
|
5 |
|
3 |
|
1 |
5 |
2 |
15 |
||
4 |
5 |
6 |
|
1 |
|
3 |
|
2 |
20 |
5 |
30 |
||
7 |
8 |
9 |
|
5 |
|
2 |
|
1 |
35 |
8 |
45 |
||
|
8 |
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
5 |
9 |
0 |
|
- верно. |
|
|
|
|||||
|
2 |
15 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 3
Ответ: X |
4 5 6 . |
7 8 9
1 |
8 |
27 |
8 |
30 |
24 |
33 |
|
5 |
81 |
5 |
90 |
15 |
99 |
||
|
|||||||
19 |
|||||||
2 |
135 |
2 |
150 |
6 |
165 |
||
|
3 |
6 |
6 |
1 |
4 |
3 |
12 |
15 |
12 |
4 |
10 |
6 |
21 |
24 |
18 |
7 |
16 |
9 |
Задания для самостоятельного решения.
Задание 1.7.
Решить матричное уравнение и сделать проверку
36
|
3 |
1 |
2 |
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
1. |
1 |
0 |
1 |
X |
1 |
|
|
1 |
3 . |
|
|
4 |
3 |
0 |
|
1 |
|
|
1 |
4 |
|
|
2 |
1 |
0 |
|
2 |
1 |
0 |
|||
2. |
15 |
3 |
1 X |
|
1 |
1 |
1 . |
|||
|
2 |
|
3 |
1 |
|
10 |
2 |
1 |
||
|
3 |
2 |
4 |
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
3. |
7 |
2 |
3 |
X |
1 |
1 |
|
1 . |
|
|
|
10 |
1 |
8 |
|
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
5 |
8 |
4 |
|
11 |
|
22 |
29 |
|
|
4. |
6 |
9 |
5 |
X |
9 |
|
27 |
32 . |
|
|
|
4 |
7 |
3 |
|
13 |
|
17 |
26 |
|
|
|
2 |
2 |
5 |
|
4 |
1 |
6 |
|
||
5. |
1 |
0 |
3 |
X |
0 |
|
|
3 |
1 . |
|
|
1 |
6 |
3 |
|
2 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
3 |
1 |
2 |
3 |
|
|
2 |
5 |
|
6. |
X |
1 |
2 |
3 |
0 |
|
|
1 |
1 . |
|
|
|
5 |
6 |
4 |
5 |
|
1 |
6 |
|
|
|
|
5 |
3 |
1 |
|
8 |
|
3 |
0 |
|
7. |
X |
1 |
3 |
2 |
|
5 |
|
9 |
0 . |
|
|
|
5 |
2 |
1 |
|
2 |
|
15 |
0 |
|
|
5 |
8 |
4 |
|
11 |
|
|
22 |
29 |
|
8. |
6 |
9 |
5 |
X |
9 |
|
|
27 |
32 . |
|
|
4 |
7 |
3 |
|
13 |
|
|
17 |
26 |
|
|
2 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
3 |
|
|
|
9. |
1 |
0 |
2 |
X |
3 |
0 |
|
5 . |
|
|
|
3 |
3 |
4 |
|
5 |
1 |
9 |
|
|
37
|
|
5 |
8 |
4 |
11 |
|
22 |
29 |
|
10. |
X |
6 |
9 |
5 |
|
9 |
|
27 |
32 . |
|
|
4 |
7 |
3 |
13 |
|
17 |
26 |
|
|
3 |
0 |
2 |
|
5 |
1 |
2 |
||
11. |
2 |
3 |
1 |
X |
|
1 |
1 |
3 . |
|
|
5 |
2 |
4 |
|
7 |
2 |
0 |
||
|
1 |
3 |
2 |
|
|
1 |
5 |
|
5 |
12. |
3 |
4 |
1 |
X |
|
3 |
10 |
0 . |
|
|
2 |
5 |
3 |
|
|
2 |
9 |
|
7 |
|
|
3 |
2 |
5 |
11 |
|
22 |
29 |
|
13. |
X |
4 |
1 |
3 |
|
9 |
|
27 |
32 . |
|
|
9 |
6 |
5 |
13 |
|
17 |
26 |
|
|
3 |
2 |
5 |
|
8 |
2 |
|
9 |
|
14. |
4 |
1 |
3 |
X |
7 |
1 12 . |
|||
|
0 |
6 |
5 |
|
5 |
6 |
|
1 |
|
|
|
2 |
5 |
6 |
1 |
|
5 |
5 |
|
15. |
X |
1 |
2 |
5 |
3 |
10 |
0 . |
||
|
|
1 |
3 |
2 |
2 |
|
9 |
7 |
|
|
2 |
5 |
6 |
|
1 |
|
5 |
5 |
|
16. |
1 |
2 |
5 |
X |
3 |
10 |
0 . |
||
|
1 |
3 |
2 |
|
2 |
|
9 |
7 |
|
|
|
3 |
1 |
1 |
|
6 |
2 |
1 |
|
17. |
X |
2 |
1 |
2 |
|
6 |
1 |
1 . |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
8 |
|
1 |
4 |
38
|
|
3 |
|
1 |
1 |
6 |
2 |
|
1 |
|
18. |
X |
2 |
|
1 |
2 |
6 |
1 |
|
1 . |
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
8 |
1 |
|
4 |
|
|
|
2 |
|
1 |
1 |
7 |
4 |
4 |
|
|
19. |
X |
3 |
|
1 |
0 |
9 |
4 |
3 . |
|
|
|
|
0 |
|
1 |
2 |
3 |
3 |
4 |
|
|
|
3 |
1 |
|
1 |
|
6 |
2 |
|
1 |
|
20. |
2 |
1 |
|
2 |
X |
6 |
1 |
|
1 . |
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
8 |
1 |
|
4 |
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
1 |
0 |
0 |
||
21. |
2 |
|
|
4 |
6 |
X |
0 |
1 |
0 . |
|
|
3 |
|
6 |
9 |
|
0 |
0 |
1 |
||
|
2 |
1 |
|
1 |
|
7 |
4 |
4 |
|
|
22. |
3 |
1 |
|
0 |
X |
9 |
4 |
3 . |
|
|
|
0 |
1 |
|
2 |
|
3 |
3 |
4 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
6 |
2 |
|
1 |
|
23. |
X |
2 |
|
1 |
1 |
6 |
1 |
|
1 . |
|
|
|
1 |
|
0 |
1 |
8 |
1 |
|
4 |
|
|
1 |
|
|
2 |
1 |
|
6 |
|
2 |
1 |
24. |
2 |
|
|
1 |
1 |
X |
1 |
|
1 |
2 . |
|
1 |
|
0 |
1 |
|
2 |
|
1 |
3 |
|
|
|
1 |
|
2 |
1 |
1 |
9 |
15 |
||
25. |
X |
0 |
|
1 |
2 |
5 |
5 |
|
0 . |
|
|
|
3 |
|
1 |
1 |
12 |
26 |
32 |
||
|
|
1 |
2 |
3 |
8 |
6 |
|
4 |
|
|
26. |
X |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
0 |
|
5 . |
|
|
|
1 |
|
3 |
5 |
7 |
7 |
|
7 |
|
39