- •ВВЕДЕНИЕ
- •ГЛАВА 1 ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
- •§1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
- •Пример 1.1.
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 1.1.
- •а) разложив его по элементам i-й строки; б) разложив его по элементам j-го столбца; в) получив предварительно нули в i-й строке.
- •§2. МАТРИЦЫ
- •Пример 1.2.
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 1.2.
- •Даны две матрицы А и В.
- •§3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
- •Пример 1.3.
- •Пример 1.4.
- •Пример 1.5.
- •Пример 1.6.
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 1.3.
- •Задание 1.4.
- •В заданиях 1.5-1.6 решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.
- •Задание 1.5.
- •Задание 1.6.
- •§4. РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
- •Пример 1.7.
- •Пример 1.8.
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 1.7.
- •Решить матричное уравнение и сделать проверку
- •ГЛАВА 2 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
- •Пример 2.1
- •Пример 2.2
- •Пример 2.3
- •Пример 2.4
- •Пример 2.5
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 2.1.
- •Задание 2.2.
- •Задание 2.3
- •Задание 2.4.
- •Задание 2.5.
- •ГЛАВА 3 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
- •§1. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
- •Пример 3.1
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 3.1.
- •§2. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
- •Пример 3.2
- •Пример 3.3
- •Пример 3.4
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 3.2
- •Задание 3.3
- •Задание 3.4
- •Найти угол между плоскостями.
- •§3 ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
- •Пример 3.5
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 3.5
- •Написать каноническое уравнение прямой.
- •§4. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
- •Пример 3.6
- •Пример 3.7
- •Пример 3.8
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 3.6
- •Найти точку пересечения прямой и плоскости.
- •Задание 3.7
- •§5. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
- •Пример 3.9
- •Пример 3.10
- •Пример 3.11
- •Пример 3.12
- •Пример 3.13
- •Пример 3.14
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 3.8.
- •ГЛАВА 4 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
- •§ 1. ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
- •Пример 4.1
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 4.1
- •Вычислить пределы числовых последовательностей.
- •§ 2. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ
- •Пример 4.2
- •Вычислить пределы дробно-рациональных функций:
- •Пример 4.3
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 4.2.
- •Вычислить пределы дробно-рациональных функций
- •Задание 4.3.
- •Вычислить пределы иррациональных функций
- •§ 3. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ.
- •Пример 4.4
- •Пример 4.5
- •Пример 4.6
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 4.4.
- •Вычислить пределы, используя первый замечательный предел и его следствия.
- •Задание 4.5.
- •Задание 4.6
- •§ 4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
- •Пример 4.7
- •Пример 4.8
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 4.7.
- •Задание 4.8.
- •§ 1.ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
- •Пример 5.1
- •Пример 5.2
- •Пример 5.3
- •Пример 5.4
- •Пример 5.5
- •Пример 5.6
- •Пример 5.7
- •Пример 5.8
- •Пример 5.9
- •Пример 5.10
- •Пример 5.11
- •Пример 5.12
- •Пример 5.13
- •Задания для самостоятельного решения.
- •В заданиях 5.1-5.13 вычислить производные функций, используя таблицу производных и правила дифференцирования.
- •Задание 5.1
- •Задание 5.2.
- •Задание 5.3.
- •Задание 5.4.
- •Задание 5.5.
- •Задание 5.6.
- •Задание 5.7.
- •Задание 5.8.
- •Задание 5.9.
- •Задание 5.10.
- •Задание 5.11.
- •Задание 5.12.
- •Задание 5.13.
- •§ 2. ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
- •Пример 5.14
- •Пример 5.15
- •Пример 5.16
- •Задания для самостоятельного решения.
- •В заданиях 5.14-5.16 вычислить следующие производные, используя метод логарифмического дифференцирования
- •Задание 5.14.
- •Задание 5.15.
- •Задание 5.16
- •§ 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НЕЯВНО И ПАРАМЕТРИЧЕСКИ
- •Пример 5.17
- •Пример 5.18
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 5.17.
- •Задание 5.18.
- •§4. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ
- •Пример 5.19
- •Пример 5.20
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя.
- •Задание 5.19
- •Задание 5.20.
- •§ 5. ПОЛНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
- •Пример 5.21
- •Пример 5.22
- •Пример 5.23
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Провести полное исследование функций и построить их графики
- •Задание 5.21.
- •Задание 5.22.
- •Задание 5.23.
- •§ 6. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ
- •Пример 5.24
- •Пример 5.25
- •Задания для самостоятельного решения.
- •С помощью дифференциала приближенно вычислить данные величины и оценить допущенную относительную погрешность (с точностью до двух знаков после запятой).
- •Задание 5.24.
- •Задание 5.25.
23. |
|
x |
1 |
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
z |
6 |
|
, |
|
|
4x |
|
|
|
y |
|
6z |
5 |
0. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
7 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
24. |
|
x |
3 |
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
z |
8 |
, |
|
|
5x |
|
9y |
|
|
|
4z |
25 |
0. |
|||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
25. |
|
x |
1 |
|
|
y |
|
|
z |
1 |
, |
|
|
|
x |
|
|
4y |
13z |
23 |
|
0. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
26. |
|
x |
1 |
|
|
y |
3 |
|
|
|
|
|
z |
5 |
, |
|
|
3x |
2y |
|
|
5z |
3 |
|
0. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
27. |
|
x |
2 |
|
|
y |
1 |
|
|
|
|
z |
3 |
|
, |
|
|
3x |
|
y |
4z |
0. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
28. |
|
x |
1 |
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
z |
3 |
|
, |
|
|
x |
|
|
|
2y |
|
5z |
16 |
|
0. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
29. |
|
x |
1 |
|
|
y |
3 |
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
, |
|
|
3x |
7 y |
|
|
|
2z |
7 |
0. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
30. |
|
x |
3 |
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
z |
5 |
, |
|
|
5x |
|
7 y |
|
|
|
|
9z |
32 |
0. |
||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Задание 3.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Найти точку |
M , |
|
симметричную |
точке M относительно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
прямой (для вариантов 1-15) или плоскости (для вариантов 16-30). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
M 0, 3, 2 , |
|
|
x 1 |
|
|
|
y 1, 5 |
|
z |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2. |
|
M |
2, |
1,1 , |
|
|
|
x |
4,5 |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
3 z |
2 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3. |
M 1,1,1 , |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
y |
|
|
1, 5 |
|
|
|
|
z |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4. |
M 1, 2,3 |
, |
|
x |
0,5 |
|
|
|
|
y |
1,5 |
|
|
|
z |
1,5 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5. |
M 1, 0, |
1 , |
|
|
|
x |
3,5 |
|
|
|
|
|
y |
1,5 |
|
|
|
z |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
6. |
M |
2,1, 0 |
|
, |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
y |
1,5 |
|
|
|
|
|
z |
|
|
0,5 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7. |
M |
2, |
3, 0 |
, |
|
|
x |
0,5 |
|
|
|
y |
1,5 |
|
|
|
|
|
z |
0,5 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
73
8. |
M 1, 0, 1 , |
x y 1,5 |
|
|
z 2 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
9. |
M |
0, 2,1 , |
|
x |
1, 5 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
z |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
10. |
M 3, 3, 1 , |
x |
6 |
|
|
|
y |
3,5 |
|
|
|
z |
0,5 |
. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
11. |
M 3,3,3 , |
|
x |
1 |
|
|
|
|
y |
|
1,5 |
|
|
|
z 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
12. |
M |
1, 2, 0 |
, |
|
|
x 0,5 |
|
|
|
|
y |
0, 7 |
|
|
|
|
|
z |
2 |
. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, 2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
13. |
M |
2, 2, |
3 , |
x |
1 |
|
|
y |
0,5 |
|
|
|
z |
1,5 |
. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
14. |
M |
1, 0,1 , |
|
|
x |
0,5 |
|
|
|
y |
1 |
|
|
z |
4 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
15. |
M |
0, 3, |
2 |
, |
x |
0,5 |
|
|
|
|
|
y |
1,5 |
|
|
|
z |
1,5 |
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
16. |
M 1, 0,1 , 4x |
6 y |
4z |
25 |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
17. |
M |
1, 0, 1 , |
|
2x |
|
|
6 y |
|
|
|
|
2z |
11 |
|
|
|
|
0. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
18. |
M |
0, 2,1 , |
2x |
|
4 y |
3 |
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
19. |
M |
2,1, 0 , |
|
y |
z |
2 |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
20. |
M |
1, 2, 0 |
, |
|
4x |
5 y |
|
|
|
z |
7 |
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
21. |
M 2, 1,1 , x |
|
y 2z |
2 |
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
22. |
M 1,1,1 , |
x |
|
|
|
4 y |
|
|
3z |
5 |
|
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
23. |
M 1, 2, 3 , |
2x |
10 y |
|
10z |
1 |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
24. |
M 0, 3, 2 , |
2x |
|
|
10 y |
10z |
1 |
|
0. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
25. |
M 1, 0, 1 , |
2 y |
4z |
|
1 |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
26. |
M 3, 3, 1 , |
2x |
|
|
4 y |
|
|
|
|
4z |
13 |
|
|
|
|
0. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
27. |
M |
2, 3, 0 |
|
, |
x |
5 y |
|
4 |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
28. |
M 2, 2, 3 , |
y |
|
z |
2 |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
29. |
M |
1, 0,1 , |
|
2x |
4 y |
|
3 |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
30. |
M |
3, 3, 3 , 8x |
|
6 y |
8z |
25 |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
74