- •ВВЕДЕНИЕ
- •ГЛАВА 1 ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
- •§1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
- •Пример 1.1.
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 1.1.
- •а) разложив его по элементам i-й строки; б) разложив его по элементам j-го столбца; в) получив предварительно нули в i-й строке.
- •§2. МАТРИЦЫ
- •Пример 1.2.
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 1.2.
- •Даны две матрицы А и В.
- •§3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
- •Пример 1.3.
- •Пример 1.4.
- •Пример 1.5.
- •Пример 1.6.
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 1.3.
- •Задание 1.4.
- •В заданиях 1.5-1.6 решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.
- •Задание 1.5.
- •Задание 1.6.
- •§4. РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
- •Пример 1.7.
- •Пример 1.8.
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 1.7.
- •Решить матричное уравнение и сделать проверку
- •ГЛАВА 2 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
- •Пример 2.1
- •Пример 2.2
- •Пример 2.3
- •Пример 2.4
- •Пример 2.5
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 2.1.
- •Задание 2.2.
- •Задание 2.3
- •Задание 2.4.
- •Задание 2.5.
- •ГЛАВА 3 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
- •§1. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
- •Пример 3.1
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 3.1.
- •§2. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
- •Пример 3.2
- •Пример 3.3
- •Пример 3.4
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 3.2
- •Задание 3.3
- •Задание 3.4
- •Найти угол между плоскостями.
- •§3 ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
- •Пример 3.5
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 3.5
- •Написать каноническое уравнение прямой.
- •§4. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
- •Пример 3.6
- •Пример 3.7
- •Пример 3.8
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 3.6
- •Найти точку пересечения прямой и плоскости.
- •Задание 3.7
- •§5. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
- •Пример 3.9
- •Пример 3.10
- •Пример 3.11
- •Пример 3.12
- •Пример 3.13
- •Пример 3.14
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 3.8.
- •ГЛАВА 4 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
- •§ 1. ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
- •Пример 4.1
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 4.1
- •Вычислить пределы числовых последовательностей.
- •§ 2. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ
- •Пример 4.2
- •Вычислить пределы дробно-рациональных функций:
- •Пример 4.3
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 4.2.
- •Вычислить пределы дробно-рациональных функций
- •Задание 4.3.
- •Вычислить пределы иррациональных функций
- •§ 3. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ.
- •Пример 4.4
- •Пример 4.5
- •Пример 4.6
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 4.4.
- •Вычислить пределы, используя первый замечательный предел и его следствия.
- •Задание 4.5.
- •Задание 4.6
- •§ 4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
- •Пример 4.7
- •Пример 4.8
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 4.7.
- •Задание 4.8.
- •§ 1.ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
- •Пример 5.1
- •Пример 5.2
- •Пример 5.3
- •Пример 5.4
- •Пример 5.5
- •Пример 5.6
- •Пример 5.7
- •Пример 5.8
- •Пример 5.9
- •Пример 5.10
- •Пример 5.11
- •Пример 5.12
- •Пример 5.13
- •Задания для самостоятельного решения.
- •В заданиях 5.1-5.13 вычислить производные функций, используя таблицу производных и правила дифференцирования.
- •Задание 5.1
- •Задание 5.2.
- •Задание 5.3.
- •Задание 5.4.
- •Задание 5.5.
- •Задание 5.6.
- •Задание 5.7.
- •Задание 5.8.
- •Задание 5.9.
- •Задание 5.10.
- •Задание 5.11.
- •Задание 5.12.
- •Задание 5.13.
- •§ 2. ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
- •Пример 5.14
- •Пример 5.15
- •Пример 5.16
- •Задания для самостоятельного решения.
- •В заданиях 5.14-5.16 вычислить следующие производные, используя метод логарифмического дифференцирования
- •Задание 5.14.
- •Задание 5.15.
- •Задание 5.16
- •§ 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НЕЯВНО И ПАРАМЕТРИЧЕСКИ
- •Пример 5.17
- •Пример 5.18
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 5.17.
- •Задание 5.18.
- •§4. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ
- •Пример 5.19
- •Пример 5.20
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя.
- •Задание 5.19
- •Задание 5.20.
- •§ 5. ПОЛНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
- •Пример 5.21
- •Пример 5.22
- •Пример 5.23
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Провести полное исследование функций и построить их графики
- •Задание 5.21.
- •Задание 5.22.
- •Задание 5.23.
- •§ 6. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ
- •Пример 5.24
- •Пример 5.25
- •Задания для самостоятельного решения.
- •С помощью дифференциала приближенно вычислить данные величины и оценить допущенную относительную погрешность (с точностью до двух знаков после запятой).
- •Задание 5.24.
- •Задание 5.25.
ГЛАВА 1 ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
§1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Пример 1.1.
Для данного определителя найти миноры и алгебраические дополнения для элементов a12 ; a33 . Вычислить определитель :
а) разложив его по элементам первой строки; б) разложив его по элементам третьего столбца;
в) получив предварительно нули в четвертом столбце.
2 |
1 |
0 |
3 |
4 |
1 |
2 |
1 |
3 |
3 |
1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
Решение:
Минором элемента aij определителя n -го порядка называется определитель ( n 1 )-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания i -ой строки и j -го столбца. Обозначается Mij . Найдем
миноры M12 ; M33 |
для заданных элементов a12 |
1; a33 |
1 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
3 |
|
|
|
4 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
M12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
1 |
|
4 |
1 |
2 |
2 1 2 |
1 3 2 |
2 |
1 |
1 |
||||||
|
|
3 |
|
3 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 1 4 |
2 3 2 |
|
|
8 |
4 |
6 |
|
2 |
8 |
12 |
16. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
0 |
|
3 |
|
|
|
2 |
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
M33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
1 |
|
2 1 2 |
|
1 |
1 2 |
4 |
1 |
3 |
3 1 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 |
|
3 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4 |
1 |
2 |
2 1 |
|
1 |
|
|
4 |
2 |
12 |
6 |
8 |
2 |
|
8. |
|
|
|
|
|
|
6
Алгебраическим дополнением элемента aij называется его минор, взятый со знаком “+”, если сумма i j – четная и “-”, если эта сумма нечетная. Обозначается Aij .
|
|
|
A |
1 i j |
M |
ij |
. |
|
|
|
|
ij |
|
|
|
|
|
|
Вычислим |
алгебраические |
|
|
дополнения |
элементов |
||
a12 |
1; a33 |
1; |
|
|
|
|
|
|
A |
1 1 |
2 M |
12 |
1 3 |
M |
12 |
M |
12 |
16; |
||
12 |
|
|
|
|
|
|
|||||
A |
1 3 |
3 M |
33 |
1 6 |
M |
33 |
M |
33 |
8. |
||
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) Вычисление определителей четвертого порядка и выше удобно проводить, используя свойство: определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения, то есть
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aik Aik |
или |
|
|
|
akj Akj . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эти формулы называются разложением определителя |
|
по элементам |
||||||||||||||||||||||||||
i ой строки или |
j го столбца соответственно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
Разложим определитель четвертого порядка по элементам |
||||||||||||||||||||||||||
первой строки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
a11 |
a12 |
|
a13 |
a14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
a21 |
a22 |
|
a23 |
a24 |
|
|
a11 A11 |
a12 A12 |
a13 A13 |
a14 A14. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
a31 |
a32 |
|
a33 |
a34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
a41 |
a42 |
|
a43 |
a44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
4 |
2 |
1 |
|
|
|
4 |
1 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
4 |
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
1 2 |
|
3 |
1 |
1 |
|
1 |
1 3 |
3 |
1 |
1 |
|
0 |
1 4 |
3 |
3 |
1 |
|
|||||||
|
3 |
3 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
4 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
1 5 |
3 |
3 |
1 |
|
|
2 |
|
2 |
6 |
2 |
1 |
2 |
12 |
8 |
6 |
4 |
2 |
8 |
12 |
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
24 |
6 |
2 |
|
12 |
4 |
6 |
2 |
|
13 |
|
16 |
|
3 |
6 |
|
|
26 |
16 |
18 |
24. |
|
б) Вычислим определитель, разложив его по элементам третьего столбца:
7
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
a14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
a24 |
|
a13 A13 |
|
a23 A23 |
a33 A33 |
a43 A43 ; |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
a34 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
a41 |
a42 |
a43 |
|
a44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
0 |
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
2 |
1 |
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
4 |
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
1 4 |
3 |
|
3 |
1 |
|
2 |
1 5 |
3 |
3 |
1 |
|
1 |
|
1 6 |
4 |
1 |
1 |
|
||||||
|
3 |
3 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
2 |
1 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
1 7 |
4 |
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
12 |
9 |
2 |
18 |
|
2 |
|
6 |
4 |
|
12 |
2 |
6 |
2 |
8 |
|
|
||
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
36 |
3 |
9 |
6 |
4 |
|
2 |
9 |
|
6 |
|
2 |
24 |
18 |
6 |
48 |
|
24. |
|
|
в) Вычислим определитель, получив предварительно нули в четвертом столбце.
2 |
1 |
0 |
3 |
4 |
1 |
2 |
1 |
3 |
3 |
1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
элементы третьей строки (рабочей) перепишем в преобразованный определитель без изменений; умножим все элементы третьей строки на (-3), прибавим к
соответствующим элементам первой строки, а результаты запишем в первую строку преобразованного определителя; умножим элементы третьей строки на (-1) и прибавим к
соответствующим элементам второй строки, результат запишем во вторую строку преобразованного определителя; умножим все элементы третьей строки на (-2), прибавим к
соответствующим элементам четвертой строки, результат запишем в четвертую строку преобразованного определителя.
После этих преобразований значение определителя не изменится, но он примет следующий вид:
7 |
10 |
3 |
0 |
|
1 |
2 |
3 |
0 |
. |
3 |
3 |
1 |
1 |
|
4 |
7 |
4 |
0 |
|
Теперь, разложив определитель по элементам четвертого столбца, вычислим его:
8