- •ВВЕДЕНИЕ
- •ГЛАВА 1 ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
- •§1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
- •Пример 1.1.
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 1.1.
- •а) разложив его по элементам i-й строки; б) разложив его по элементам j-го столбца; в) получив предварительно нули в i-й строке.
- •§2. МАТРИЦЫ
- •Пример 1.2.
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 1.2.
- •Даны две матрицы А и В.
- •§3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
- •Пример 1.3.
- •Пример 1.4.
- •Пример 1.5.
- •Пример 1.6.
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 1.3.
- •Задание 1.4.
- •В заданиях 1.5-1.6 решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.
- •Задание 1.5.
- •Задание 1.6.
- •§4. РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
- •Пример 1.7.
- •Пример 1.8.
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 1.7.
- •Решить матричное уравнение и сделать проверку
- •ГЛАВА 2 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
- •Пример 2.1
- •Пример 2.2
- •Пример 2.3
- •Пример 2.4
- •Пример 2.5
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 2.1.
- •Задание 2.2.
- •Задание 2.3
- •Задание 2.4.
- •Задание 2.5.
- •ГЛАВА 3 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
- •§1. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
- •Пример 3.1
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 3.1.
- •§2. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
- •Пример 3.2
- •Пример 3.3
- •Пример 3.4
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 3.2
- •Задание 3.3
- •Задание 3.4
- •Найти угол между плоскостями.
- •§3 ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
- •Пример 3.5
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 3.5
- •Написать каноническое уравнение прямой.
- •§4. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
- •Пример 3.6
- •Пример 3.7
- •Пример 3.8
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 3.6
- •Найти точку пересечения прямой и плоскости.
- •Задание 3.7
- •§5. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
- •Пример 3.9
- •Пример 3.10
- •Пример 3.11
- •Пример 3.12
- •Пример 3.13
- •Пример 3.14
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 3.8.
- •ГЛАВА 4 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
- •§ 1. ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
- •Пример 4.1
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 4.1
- •Вычислить пределы числовых последовательностей.
- •§ 2. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ
- •Пример 4.2
- •Вычислить пределы дробно-рациональных функций:
- •Пример 4.3
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 4.2.
- •Вычислить пределы дробно-рациональных функций
- •Задание 4.3.
- •Вычислить пределы иррациональных функций
- •§ 3. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ.
- •Пример 4.4
- •Пример 4.5
- •Пример 4.6
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 4.4.
- •Вычислить пределы, используя первый замечательный предел и его следствия.
- •Задание 4.5.
- •Задание 4.6
- •§ 4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
- •Пример 4.7
- •Пример 4.8
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 4.7.
- •Задание 4.8.
- •§ 1.ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
- •Пример 5.1
- •Пример 5.2
- •Пример 5.3
- •Пример 5.4
- •Пример 5.5
- •Пример 5.6
- •Пример 5.7
- •Пример 5.8
- •Пример 5.9
- •Пример 5.10
- •Пример 5.11
- •Пример 5.12
- •Пример 5.13
- •Задания для самостоятельного решения.
- •В заданиях 5.1-5.13 вычислить производные функций, используя таблицу производных и правила дифференцирования.
- •Задание 5.1
- •Задание 5.2.
- •Задание 5.3.
- •Задание 5.4.
- •Задание 5.5.
- •Задание 5.6.
- •Задание 5.7.
- •Задание 5.8.
- •Задание 5.9.
- •Задание 5.10.
- •Задание 5.11.
- •Задание 5.12.
- •Задание 5.13.
- •§ 2. ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
- •Пример 5.14
- •Пример 5.15
- •Пример 5.16
- •Задания для самостоятельного решения.
- •В заданиях 5.14-5.16 вычислить следующие производные, используя метод логарифмического дифференцирования
- •Задание 5.14.
- •Задание 5.15.
- •Задание 5.16
- •§ 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НЕЯВНО И ПАРАМЕТРИЧЕСКИ
- •Пример 5.17
- •Пример 5.18
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 5.17.
- •Задание 5.18.
- •§4. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ
- •Пример 5.19
- •Пример 5.20
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя.
- •Задание 5.19
- •Задание 5.20.
- •§ 5. ПОЛНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
- •Пример 5.21
- •Пример 5.22
- •Пример 5.23
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Провести полное исследование функций и построить их графики
- •Задание 5.21.
- •Задание 5.22.
- •Задание 5.23.
- •§ 6. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ
- •Пример 5.24
- •Пример 5.25
- •Задания для самостоятельного решения.
- •С помощью дифференциала приближенно вычислить данные величины и оценить допущенную относительную погрешность (с точностью до двух знаков после запятой).
- •Задание 5.24.
- •Задание 5.25.
24. |
A |
1; 2; 3 , |
B 0;1; 2 |
, |
C 3; 4; 5 . |
|||
25. |
A 0;3; 6 , |
B 9;3; 6 , |
C 12;3;3 . |
|||||
26. |
A 3;3; 1 |
, |
B 5;1; 2 |
, |
C 4;1; 3 . |
|||
27. |
A |
2;1;1 |
, |
B 2;3; 2 , |
C 0; 0;3 . |
|||
28. |
A 1; 4; 1 |
, |
B |
2; 4; |
5 |
, |
C 8; 4; 0 . |
|
29. |
A 0;1; 0 |
, |
B 0; 2;1 |
, |
|
C 1; 2; 0 . |
||
30. |
A |
1; 0; 4 |
, |
B |
1; 6; 7 |
, |
C 1;10;9 . |
Задание 2.3
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на
векторах a и b
1. |
a p 2q , |
|
|
|
|
p |
|
|
|
1 , |
|
q |
|
|
2 |
|
( p, q) |
|
|
. |
|
||||||||||||
b 3 p q ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|||||||||||||||||||
2. |
a 3p q , |
|
|
|
|
p |
|
|
|
4 , |
q |
|
1 , |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
b p 2q |
; |
|
|
|
|
|
|
|
( p, q ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 . |
|
||||||||||||||||||||||||
|
a p 3q , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. |
b p 2q ; |
|
p |
|
|
, |
|
q |
|
|
|
1 , |
( p, q ) |
|
|
. |
|
||||||||||||||||
|
a |
3p |
2q |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
q |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
4. |
|
|
|
|
p |
|
|
|
4 , |
|
|
|
|
( p, q) 5 |
|
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
b p 5q ; |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
, |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
a |
p |
2q , |
|
|
|
|
p |
|
|
|
2 |
, |
|
q |
|
3 |
|
( p, q ) |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
b 2 p q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
; |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 . |
||||||||||||||||||
|
a |
p |
3q , |
|
|
|
|
p |
|
|
|
2 |
, |
q |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
6. |
b p 2q |
; |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p, q) |
3 . |
|
||||||||||||||
7. |
a |
2 p |
q , |
|
|
|
|
p |
|
|
|
3 |
, |
q |
|
|
|
|
|
|
( p, q ) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
b p 3q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
; |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
|
|||||||||||||||||
|
a |
4 p |
q , |
|
|
|
|
p |
|
|
|
7 , |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
8. |
b p q ; |
|
|
|
|
|
|
|
( p, q ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 . |
|
|||||||||||||||||
|
a |
p |
4q , |
|
|
|
|
p |
|
|
|
1 |
, |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
9. |
b 3 p q |
; |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p, q) |
6 . |
|
||||||||||||||
|
a |
p |
4q , |
|
|
|
p |
|
|
|
7 |
, |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
10. |
b 2 p q |
; |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p, q |
3 . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49
11. |
a 3p 2q |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
10 , |
||||||||
b |
p |
q ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
a |
4 p |
q , |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
5 , |
|||||||
b |
p |
2q ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
13. |
a 2 p 3q |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
6 , |
||||||||
b |
p |
2q ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
3p |
q , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
14. |
b |
p |
2q ; |
|
p |
|
|
|
|
3 , |
|||||||||||||
15. |
a 2 p 3q |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
2 , |
||||||||
b |
p |
2q ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. |
a 2 p 3q |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
4 , |
||||||||
b |
3 p |
q ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. |
a |
5 p |
q , |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
1 , |
|||||||||
b |
p |
3q ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
18. |
a |
7 p |
2q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
, |
||||||
b |
p |
3q ; |
|
p |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
, |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
a |
6 p |
q , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
19. |
b |
p |
q ; |
|
p |
|
|
|
3 , |
||||||||||||||
|
a |
10 p |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
20. |
b |
3 p |
2q |
|
p |
|
|
|
|
4 , |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
, |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
a |
6 p |
q , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
21. |
b |
p |
2q ; |
|
p |
|
|
|
8 , |
||||||||||||||
|
a 3p 4q |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
2, 5 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
22. |
b |
p |
2q ; |
|
|||||||||||||||||||
, |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a |
7 p |
q , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
23. |
b |
p |
3q ; |
|
p |
|
|
3 , |
|||||||||||||||
|
a |
p |
3q , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
24. |
b |
3 p |
q ; |
|
p |
|
|
3 , |
|||||||||||||||
|
a |
3p |
q , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
25. |
b |
p |
3q ; |
|
p |
|
|
7 , |
|||||||||||||||
|
a |
5 p |
q , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
26. |
b |
p |
q ; |
|
p |
|
|
5 , |
|||||||||||||||
27. |
a 3p 4q |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
2 , |
||||||||
b |
p |
3q ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q 1 ,
q 4
,
q 7
,
q 4
,
q 3
,
q 1 ,
q 2
,
q 2
,
q 4
,
q 1 ,
q
1
2
,
q 2
,
q 1 ,
q 5
,
q 2
,
q 3
,
q 3
,
( p, q )
( p, q )
( p, q)
( p, q)
( p, q )
( p, q)
( p, q)
( p, q )
( p, q )
( p, q)
( p, q)
( p, q)
( p, q )
( p, q)
( p, q)
( p, q )
( p, q)
2.
4.
3.
3.
4.
6.
3.
2.
4.
6.
3 .
2 .
3 .
4
2 .
3
4 .
5 .
6
4 .
50