- •ВВЕДЕНИЕ
- •ГЛАВА 1 ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
- •§1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
- •Пример 1.1.
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 1.1.
- •а) разложив его по элементам i-й строки; б) разложив его по элементам j-го столбца; в) получив предварительно нули в i-й строке.
- •§2. МАТРИЦЫ
- •Пример 1.2.
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 1.2.
- •Даны две матрицы А и В.
- •§3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
- •Пример 1.3.
- •Пример 1.4.
- •Пример 1.5.
- •Пример 1.6.
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 1.3.
- •Задание 1.4.
- •В заданиях 1.5-1.6 решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.
- •Задание 1.5.
- •Задание 1.6.
- •§4. РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
- •Пример 1.7.
- •Пример 1.8.
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 1.7.
- •Решить матричное уравнение и сделать проверку
- •ГЛАВА 2 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
- •Пример 2.1
- •Пример 2.2
- •Пример 2.3
- •Пример 2.4
- •Пример 2.5
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 2.1.
- •Задание 2.2.
- •Задание 2.3
- •Задание 2.4.
- •Задание 2.5.
- •ГЛАВА 3 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
- •§1. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
- •Пример 3.1
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 3.1.
- •§2. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
- •Пример 3.2
- •Пример 3.3
- •Пример 3.4
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 3.2
- •Задание 3.3
- •Задание 3.4
- •Найти угол между плоскостями.
- •§3 ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
- •Пример 3.5
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 3.5
- •Написать каноническое уравнение прямой.
- •§4. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
- •Пример 3.6
- •Пример 3.7
- •Пример 3.8
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 3.6
- •Найти точку пересечения прямой и плоскости.
- •Задание 3.7
- •§5. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
- •Пример 3.9
- •Пример 3.10
- •Пример 3.11
- •Пример 3.12
- •Пример 3.13
- •Пример 3.14
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 3.8.
- •ГЛАВА 4 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
- •§ 1. ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
- •Пример 4.1
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 4.1
- •Вычислить пределы числовых последовательностей.
- •§ 2. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ
- •Пример 4.2
- •Вычислить пределы дробно-рациональных функций:
- •Пример 4.3
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 4.2.
- •Вычислить пределы дробно-рациональных функций
- •Задание 4.3.
- •Вычислить пределы иррациональных функций
- •§ 3. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ.
- •Пример 4.4
- •Пример 4.5
- •Пример 4.6
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 4.4.
- •Вычислить пределы, используя первый замечательный предел и его следствия.
- •Задание 4.5.
- •Задание 4.6
- •§ 4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
- •Пример 4.7
- •Пример 4.8
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 4.7.
- •Задание 4.8.
- •§ 1.ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
- •Пример 5.1
- •Пример 5.2
- •Пример 5.3
- •Пример 5.4
- •Пример 5.5
- •Пример 5.6
- •Пример 5.7
- •Пример 5.8
- •Пример 5.9
- •Пример 5.10
- •Пример 5.11
- •Пример 5.12
- •Пример 5.13
- •Задания для самостоятельного решения.
- •В заданиях 5.1-5.13 вычислить производные функций, используя таблицу производных и правила дифференцирования.
- •Задание 5.1
- •Задание 5.2.
- •Задание 5.3.
- •Задание 5.4.
- •Задание 5.5.
- •Задание 5.6.
- •Задание 5.7.
- •Задание 5.8.
- •Задание 5.9.
- •Задание 5.10.
- •Задание 5.11.
- •Задание 5.12.
- •Задание 5.13.
- •§ 2. ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
- •Пример 5.14
- •Пример 5.15
- •Пример 5.16
- •Задания для самостоятельного решения.
- •В заданиях 5.14-5.16 вычислить следующие производные, используя метод логарифмического дифференцирования
- •Задание 5.14.
- •Задание 5.15.
- •Задание 5.16
- •§ 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НЕЯВНО И ПАРАМЕТРИЧЕСКИ
- •Пример 5.17
- •Пример 5.18
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 5.17.
- •Задание 5.18.
- •§4. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ
- •Пример 5.19
- •Пример 5.20
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя.
- •Задание 5.19
- •Задание 5.20.
- •§ 5. ПОЛНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
- •Пример 5.21
- •Пример 5.22
- •Пример 5.23
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Провести полное исследование функций и построить их графики
- •Задание 5.21.
- •Задание 5.22.
- •Задание 5.23.
- •§ 6. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ
- •Пример 5.24
- •Пример 5.25
- •Задания для самостоятельного решения.
- •С помощью дифференциала приближенно вычислить данные величины и оценить допущенную относительную погрешность (с точностью до двух знаков после запятой).
- •Задание 5.24.
- •Задание 5.25.
|
a14 |
A14 |
a24 |
A24 a34 |
A34 |
a44 A44 |
0 A14 |
0 A24 1 |
A34 |
0 A44 ; |
||||
|
|
|
|
7 |
10 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 3 4 |
|
1 |
2 |
3 |
( 7 2 4 3 1 7 10 3 |
4 |
||||||||
|
|
|
|
4 |
7 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
3 |
7 |
7 |
3 |
1 |
10 |
4) |
(56 |
21 |
120 |
24 |
|
147 40) 24.
По такой схеме можно вычислить определитель любого порядка.
Ответ: M12 |
16; M33 |
8; A12 16; A33 |
8; |
24 . |
Задания для самостоятельного решения. |
|
|||
|
Задание 1.1. |
|
|
|
Для данного определителя |
найти миноры и алгебраические |
|||
дополнения элементов ai 2, a3 j . Вычислить определитель |
: |
а) разложив его по элементам i-й строки; б) разложив его по элементам j-го столбца; в) получив предварительно нули в i-й строке.
|
1 |
1 |
2 |
0 |
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
3 |
6 |
2 |
5 |
|
|
|
6 |
|
3 |
|
|
9 |
0 |
|
|
|
1. |
1 |
0 |
6 |
4 |
|
, |
2. |
0 |
2 |
|
1 3 |
, |
|
|
|||
|
2 |
3 |
5 |
1 |
|
|
4 |
|
2 |
|
|
0 |
6 |
|
|
|
|
|
i |
4, |
j |
1. |
|
|
|
|
i |
3, |
|
j |
3. |
|
|
|
|
|
|
7 |
2 |
1 |
|
|
|
4 |
|
5 |
|
1 |
|
5 |
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
8 |
|
2 |
|
3. |
3 |
4 |
0 |
2 |
|
, |
4. |
5 3 |
1 3 |
, |
|||||||
|
0 |
5 |
1 |
3 |
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
6 |
|
8 |
|
|
i |
4, |
j |
1. |
|
|
|
|
i |
1, |
|
j |
3. |
|
|
|
9
|
3 |
|
5 |
3 |
2 |
|
|
|
3 |
2 |
0 |
5 |
|
|
|
|
||
|
2 |
|
4 |
1 |
0 |
|
|
|
4 |
3 |
5 |
0 |
|
|
|
|
||
5. |
1 |
2 2 1 |
|
, |
6. |
1 0 2 3 |
, |
|
||||||||||
|
5 |
|
1 |
2 |
4 |
|
|
|
0 |
1 |
3 |
4 |
|
|
|
|
||
|
|
i |
2, |
j |
4. |
|
|
|
|
i |
1, |
j |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
0 |
|
|
|
3 |
2 |
0 |
2 |
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 |
|
4 |
1 |
2 |
|
|
|
1 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
||
7. |
2 |
1 0 1 |
, |
8. |
4 5 1 0 |
, |
|
|||||||||||
|
1 |
|
2 |
3 |
2 |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
3 |
|
|
|
|||
|
|
i |
2, |
j |
3. |
|
|
|
|
i |
3, |
j |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
1 |
|
|
|
|
0 |
2 |
1 |
|
7 |
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
4 |
2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
4 |
8 |
2 |
|
3 |
|
|||
9. |
0 |
1 |
2 |
2 |
, |
10. |
|
10 |
1 |
|
5 |
|
4 |
, |
||||
|
1 |
3 |
4 |
3 |
|
|
|
|
8 |
3 |
2 |
|
1 |
|
||||
|
|
i |
4, |
j |
3. |
|
|
|
|
i |
4, |
j |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
7 |
1 |
|
|
4 |
1 |
1 |
5 |
|
|
|
|
|||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 |
|
2 |
0 |
2 |
|
|
|
0 |
2 |
2 |
3 |
|
|
|
|
||
11. |
2 |
|
1 |
4 |
6 |
, |
12. |
3 |
4 |
1 |
2 |
|
, |
|
||||
|
3 |
|
2 |
9 |
4 |
|
|
|
4 |
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|||
|
|
i |
3, |
j |
4. |
|
|
|
|
i |
1, |
j |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
2 |
3 |
|
|
|
2 |
3 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
|
2 |
0 |
4 |
|
|
|
4 |
2 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
13. |
5 |
|
3 |
7 |
1 |
, |
14. |
3 |
0 |
2 |
1 |
, |
|
|
|
|
||
|
3 |
|
2 |
0 |
2 |
|
|
|
3 |
1 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
1, |
j |
4. |
|
|
|
|
i |
2, |
j |
4. |
|
|
|
|
|
10
|
3 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
2 |
|
0 |
|
|
|
4 |
1 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
5 |
0 |
6 |
|
1 |
|
|
15. |
1 |
1 |
1 |
1 |
, |
|
|
|
|
16. |
2 |
2 |
1 |
|
3 |
, |
|
|
4 |
1 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
2 |
|
1 |
|
|
|
i |
1, |
j |
3. |
|
|
|
|
|
|
i |
3, |
j |
2. |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
5 |
0 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
8 |
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
||
17. |
1 |
2 |
1 |
3 |
|
, |
|
|
18. |
4 |
1 |
2 |
0 |
, |
|
|
|
|
4 |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
i |
3, |
j |
1. |
|
|
|
|
|
|
i |
2, |
j |
4. |
|
|
|
|
|
2 |
|
10 |
4 |
|
|
1 |
2 |
4 |
|
1 |
|
||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
5 |
7 |
|
4 |
|
1 |
|
|
2 |
3 |
0 |
|
6 |
|
|||
19. |
2 |
4 |
|
2 |
|
6 |
, |
20. |
2 |
2 |
1 |
|
4 |
, |
|||
|
3 |
0 |
|
5 |
|
4 |
|
|
3 |
1 |
|
2 |
|
1 |
|
||
|
i |
2, |
j |
3. |
|
|
|
|
|
i |
4, |
j |
3. |
|
|
||
|
|
2 |
3 |
|
4 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
2 |
1 |
|
4 |
|
3 |
|
|
|
1 |
2 |
2 |
|
3 |
|
|
|
21. |
3 |
4 |
|
1 |
|
2 |
, |
|
22. |
2 |
3 |
1 |
|
0 |
, |
|
|
|
4 |
3 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
2 |
3 |
2 |
|
0 |
|
|
|
|
i |
1, |
j |
2. |
|
|
|
|
|
|
i |
3, |
j |
2. |
|
|
|
|
|
2 |
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
2 |
3 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
|
3 |
|
|
|
23. |
3 |
1 |
2 |
4 |
, |
|
|
24. |
2 |
3 |
1 |
|
0 |
, |
|
||
|
2 |
0 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
2 |
|
0 |
|
|
|
|
i |
4, |
j |
4. |
|
|
|
|
|
i |
3, |
j |
2. |
|
|
|
11