15.	lim				x ex 1									2 ex 1	.
										x		3
	x	0
17.					ax			asin x
	lim										.
							x	3
	x	0
19.	lim		ln				cos ax						.
	x	0			ln		cos bx
21.	lim				1			1						.
						x			ex
	x	0								1
						ln 1				xex

23.lim .

x0 ln x 1 x2

						4
25.	lim				ex2				1			.
				2arctg x					2
	x
27. lim					x				1			.
					3x 1					ln 3x
	x	1
		2

		lim		arcsin 2x						2 arcsin x
	16.							x3
		x	0
		.
	18.	lim tgx tg 2 x .
		x
			4
			3			tgx 1
	20.	lim								.
					2sin2 x			1
		x
			4
	22.	lim x2e 0,01x .
		x
	24.	lim 1				x log2 x .
		x	1
	26.	lim ln 2x ln						2x 1 .
		x	1
			2

28.limarcsin x tg x .

x0

29.	lim x	3	e	x	.	30.	lim x 1 x 1 .
							x 1
	x

§ 5. ПОЛНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Чтобы построить график функции y f x , необходимо

насколько возможно полно исследовать еѐ. Для этого необходимо найти:

1)Область определения функции.

2)Точки разрыва функции.

Точкой разрыва функции называется такая точка x0 , в которой: либо не определена функция;

	либо не существует lim f				x ;
			x	x0
	либо lim f	x	f x0 .
	x x0
3)	Точки пересечения графика функции с координатными осями.
4)	Исследовать	четность		функции. При этом, если функция
чѐтная,	т.е. f x	f	x ,	то	график функции симметричен
относительно оси		ординат;			если функция нечѐтная, т.е.

157

f x f x , то график функции симметричен относительно начала

координат.

5) Точки экстремумов, интервалы возрастания и убывания функции, экстремумы функции.

Необходимое условие существования экстремума в точке: если

функция f x имеет в точке x0 экстремум	–	max (min), то еѐ
производная в этой точке обращается в нуль f	x0	0 .

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называют критическими. Не во всех критических точках может существовать экстремум. Исследование функции в критических точках состоит из проверки достаточных условий существование экстремума:

пусть функция	f x		непрерывна и				имеет конечную производную
f x в некоторой окрестности						x0	, x0	точки x0 . Если при
переходе слева	направо			через точку			x0	производная		меняет	знак
«плюс» на «минус», то в точке x0						функция имеет максимум. Если при
переходе слева	направо			через точку			x0	производная		меняет	знак
«минус» на «плюс», то в точке x0 функция имеет минимум. Если при
переходе через	x0	f	x	не меняет знак, то в точке					x0	экстремума
нет.
Для того чтобы функция				f	x	непрерывная на отрезке				a, b	была
монотонно убывающей на интервале							a, b , необходимо и достаточно
выполнение условия		f	x		0 на	a, b .
Для того чтобы функция				f	x	непрерывная на отрезке				a, b	была
монотонно возрастающей					на	интервале		a, b ,	необходимо и

достаточно выполнение условия f			x	0 на	a, b .
6) Точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости графика
функции.
Если в точке	x0 вторая производная обращается в нуль						f	x0 0
или не существует и при переходе через точку x0						f x	меняет знак,
то точке x0	существует перегиб,		если же f		x	знака не меняет, то
перегиба нет.
Для того чтобы функция f x		на	a, b	была выпуклой необходимо и
достаточно,	чтобы внутри	отрезка		a, b	выполнялось			условие

158

f	x	0 ;	а чтобы функция была вогнутой на		a, b необходимо и
достаточно,			чтобы внутри отрезка	a, b	выполнялось условие
f	x	0 .

7) Асимптоты кривой.

Если расстояние от точки кривой до некоторой определѐнной прямой по мере удаления точки в бесконечность стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой. Будем различать вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты.

а) Вертикальные асимптоты. Из определения асимптоты следует, что если

	lim	f	x	,
x	a	0
	lim	f	x
x	a	0
		или

					lim f	x			,
					x a
то прямая x			a есть асимптота кривой						y	f	x ; и обратно, если
прямая x		a есть асимптота, то выполняется одно из написанных
равенств.
б)	Наклонные асимптоты.
Кривая y		f	x имеет наклонную асимптоту, уравнение которой
имеет вид
					y	kx			b ,
где
					k	lim		f	x	,
									x
						x
				b	lim f			x		kx .
					x
Если k		0 , то наклонных асимптот нет.
в)	Горизонтальные асимптоты.
Кривая		y	f x	имеет	горизонтальную						асимптоту, уравнение

которой имеет вид

y b ,

где

b lim f x .

x

8)Согласно проведенному исследованию построить график функции.

159

Пример 5.21

Исследовать функцию

y

x3

и построить еѐ график.

2 x

1 2

Решение:

1)

Область определения функции:

x

,

1

1,

.

2)

Точка разрыва функции x

1 , т.к.

lim f x

lim

x3

, lim f

x

lim

x3

.

x

1 0

x 1 0 2 x 1 2

x

1 0

x

1 0 2 x 1

2

3)

Найдем точки пересечения графика функции с осью Ox :

y

0

x3

0,

x

0.

2 x

1 2

Точки пересечения с осью Oy :

x

0

y

0 .

Таким образом, точка пересечения графика функции с координатными осями есть точка О (0;0).

4) Исследуем четность функции:	y x	x3			. Как видим,
		2 1	x	2
не выполняется условие y x y x	- чѐтности и		y x			y x -

нечѐтности.

Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной, т.е. функция общего вида.

5) Найдем критические точки экстремумов, интервалы монотонности. Для этого вычислим первую производную и решим

уравнение y x 0 .

y	3x2	x 1 2		2 x 1 x3							x	3	3x	2	,
			2 x	1	4					2 x			1	3
y 0,		x3	3x2		0, x	3	3x		2			0,	x		0, x		3.
			1 3
		2 x											1			2
y					x		1.

Исследование знаков первой производной, а также поведение функции с учетом известных теорем удобно выполнить в таблице. Для этого область определения функции найденными точками разбиваем на интервалы.

160

x	, 3	-3	3, 1	-1	1, 0	0	(0,	)
y	+	0		разрыв	+	0		+
y		3,375				0
		max				нет
						экстремума

6) Находим точки перегиба, интервалы выпуклости, вогнутости графика функции. Для этого вычислим вторую производную и решим

уравнение y x 0 .

y

3x2

6x x 1 3

3 x 1

2 x3

3x2

3x

,

2 x

1

6

x 1

4

y

0

3x

0

x 0.

x 1 4

Исследование знаков второй производной, а также поведение функции с учетом известных теорем удобно выполнить в таблице. Для этого область определения функции найденными точками разбиваем на интервалы.

x

,

1

-1

1, 0

0

(0,

)

y

разрыв

0

+

y

пере-

0

гиб

7) Асимптоты кривой.

а) наклонная y

kx

b

k

lim

f x

lim

x3

1

,

k

1

;

x

2

2

2

x

x

2 x

1

x

b lim f

x

kx

lim

x3

x

lim

x3

x

1 2 x

2

2

2

x

x

2 x

1

x

2 x

1

lim

2x2

x

1, b

1.

2

x

2 x

1

x

Следовательно, y 1 - наклонная асимптота кривой.

2

161

б) горизонтальная							y	b
							b	lim f	x	lim		x3					,
															2
								x		x	2 x			1
так как старшая степень числителя больше старшей степени
знаменателя.
Итак,		при		x			y	,	следовательно,					горизонтальных							асимптот
нет.
в) вертикальная x							a
	lim	f	x		lim			x3	,	lim		f	x				lim		x3		.
x	1 0			x		1 0 2 x 1 2				x	1 0					x	1 0 2 x 1 2
Уравнение вертикальной асимптоты x													1.
	8)		По		данным			исследования				построим						график			функции
										y			x3			2 .
												2 x		1
										7	y
										6
										5
										4
								x= -1		3
										2
										1
																					x
	-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1									0		1		2			3	4	5	6	7
									-1
			y		x	1			-2
					2
									-3
									-4
									-5
									-6
									-7
									Рисунок 12

162