15.	y	2ln								x			1 .
							x				1
17.	y				e 2 x						2			.
			2 x								2
19.	y	2x								1 e2 1 x .
21.	y	2ln								x			3 .
							x				4
23.	y	ex			3				.
		x			3
25.	y				2x						3 e2 x 2 .
27.	y	ln		x						5			2 .
							x
29.	y	ex			3			.
		x			3

16.y 4 x ex 3 .

18.	y	2ln			x		3				3 .
						x
20.	y		e x			2		.
				x		2
22.	y			x		1 e x					2 .
24.	y	ln			x		1 .
				x		5
26.	y			e 2 x			1			.
			2 x				1

28.y x 4 e x 3 .

	30.	y ln	x 6	1 .
			x

§ 6. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ

Пример 5.24

Найти приближенно sin 46

и оценить допущенную относительную

погрешность (с точностью до двух знаков после запятой).

Решение:

Воспользуемся формулой для приближенных вычислений:

f

x

x

f x

f

x

x .

Полагая

f x sin x ,

найдем

f

x

cos x

и

в

соответствии

с

формулой для приближенных вычислений получим

sin x

x

sin x cos x

x .

Учитывая, что sin 46

sin

45

1

sin

,

возьмем x

и

4

180

4

x

0, 017. Тогда

180

170

sin 46 sin 45					1					sin					sin						cos
											4 180					4			180			4
2			0, 017		2			2		1	0, 017			1, 017			2			0, 72.
2					2			2						2

Относительная погрешность может быть вычислена (при достаточно

	малых x ) по формуле		f x	x		100% . Тогда
		y	f	x

y

Ответ: 0,72; y

0, 017				2
			2			100% 1, 7% .
2
2
1, 7% .

Пример 5.25

Найти приближенно 533 и оценить допущенную относительную погрешность (с точностью до двух знаков после запятой).

Решение:

Воспользуемся формулой для приближенных вычислений:

													f		x					x				f		x			f							x		x .
																															1						1	1		1			4		1
								5 x ,
Полагая	f x														найдем									f			x									x5						x 5							и в
																													5										5
																																													55 x4
соответствии с формулой для приближенных вычислений получим
																												1
															5 x					x				5 x													x .
																												55
																														x4
За x возьмем число, ближайшее																											к	33, но чтобы было известно
значение	5 x ,					при этом значение																				x должно быть достаточно малым.
Очевидно, необходимо взять x																								32 ,				x					1 . Итак,
																								1														1							1
	5 33					5 32							1		5 32													1	2													2
																																							2 4						5 16
																							55 324															5
	2					0, 0125									2, 0125									2, 01.
Относительная погрешность
															1
							1
							55 324												100%						0, 0125										100%				0, 625% .
				y
							5 32																			2

171