ГЛАВА 4 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

§ 1. ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Пример 4.1

Вычислить пределы числовых последовательностей:

а)

lim

5n2

2n 3

;

б)

lim

(3n2

1)3 (2n2

n 1)2

;

8n

2

n

1

(n

3

1)

4

(2n

10

n

n

7)

n7

(n 1)! (n

3)!

в)

lim

1

n

1

;

г)

lim

;

(n

2)!

n

7

n

7

1

n

1

n

д)

lim

1

5

9

13

...

(4n 3)

4n

1

;

n

1

2

n

е)

lim

4

10

28

...

1

3n

.

5

25

125

n

n

5

Решение:

а)

lim

5n2

2n

3

.

8n

2

n

1

n

При

n

числитель

и

знаменатель дроби

5n2

2n 3

8n2

n 1

стремятся к бесконечности. Имеем неопределенность вида

. Для

того, чтобы найти предел данной дроби, предварительно преобразуем еѐ, разделив числитель и знаменатель на n2 . Дробь при этом не изменит своей величины, а, следовательно, и своего предела. Далее,

учитывая, что пределы последовательностей a																					1		и		b		1		равны
																			n		n				n			n2
нулю при n						, а, также применяя основные теоремы о сходящихся
последовательностях, получим:
									5	2	3					lim	5		2		3
	5n2		2n 3																n		n2				5
lim								lim		n		n2 n															.
	8n	2	n 1							1	1								1		1					8
n								n
									8							lim	8
													2
										n		n							n		n	2
																n
			Ответ:		5	.
					8

85

б) lim						(3n2					1)3						(2n2							n				1)2						.
							(n			3	1)				4					(2n				10
		n																						7)
							При												n													числитель															и		знаменатель															дроби
	(3n2				1)3					(2n2								n			1)2					стремятся к бесконечности. Чтобы устранить
		(n3			1)4						(2n								7)10
неопределѐнность																									,			вынесем															за скобки					n					в		старшей				степени.
Получим:
																																																1			3						1						1				2
																																													n2		3								n2 2
lim			(3n2						1)3 (2n2												n 1)2																				lim							n2									n n2
			(n				3		1)		4				(2n						10																																		4												10
n																					7)																				n								1											7
																																													n3		1								n	2
																																																	n3											n
												1							3											1 1										2											1				3	1 1											2
				n6						3											n4			2																						n10		3							2
		lim										n2																		n								n2							lim								n2			n					n2
																					4																			10															4												10
		n														1																				7									n						1											7
						n12					1												n10					2																		n12		1							n10	2
															n3																					n															n3											n
					1							1							3					1									1			2
										3											2
		lim			n2									n2												n					n2											0			0 .
															4																		10									1
		n									1										1							7
							1																	2
											n3										n2								n

Ответ: 0.

в)	lim		n7	1		n	1	.
	n 7 n7			1		n	1
										n7
			При n					числитель и знаменатель дроби			1		n		1
									7 n7
											1		n		1
стремятся к бесконечности. Чтобы устранить неопределѐнность															,
вынесем за скобки n в старшей степени. Получим:

86

7

1

1

1

n2

1

n2

1

7

n

1

n

1

n7

n

lim

lim

7

1

7

n

n

1

n

1

n

1

1

n

7 1

n2

1

n7

n

7

1

1

1

n2

1

1

= lim

n7

n3

n

n

7

1

1

1

1

n2

7 1

1

5

n7

n3

n

n2

1

1

1

1

1

lim

n7

n3

n

1

.

0

1

1

1

1

n

7 1

1

5

n7

n3

n

n2

Ответ: .

г)

lim

(n

1)!

(n

3)!

.

(n

2)!

n

По

определению

n!

1 2

3 4 ... n .

Тогда

(n

1)!

1 2 3 4 ... n (n

1) .

Очевидно,

что (n 1)!

n! (n 1) .

Выразим (n

2)! и (n

3)! через (n

1)! . Получим:

(n

2)!

(n 1)! (n

2) ,

(n

3)!

(n 2)! (n

3)

(n 1)! (n

2) (n

3) .

Учитывая данные соотношения, после преобразования

выражения

(n

1)!

(n

3)!

, приходим к неопределѐнности

, для

(n

2)!

устранения которой делим числитель и знаменатель на n2 .

lim

(n

1)!

(n

3)!

lim

(n 1)! (n

1)! (n

2) (n

3)

(n

2)!

(n

1)! (n

2)

n

n

lim

(n

1)! 1

(n

2)

(n

3)

lim

1

(n

2)

(n

3)

(n

1)! (n

2)

n

2

n

n

1

5

5

n

2

5n

5

1

n

n

2

lim

lim

.

n

2

1

2

0

n

n

n n2

Ответ:

.

87

д)				lim			1			5						9						13 ...								(4n					3)										4n					1	.
																								n		1																				2
				n
									В числителе первой дроби записана сумма																																																							n		первых членов
арифметической прогрессии. Она равна:
																										S					a				a						...							a					a1				an			n
																												n										2												n
																																1																								2
									Применяя указанную формулу, а затем, приводя дроби к
общему										знаменателю,																				приходим																	к неопределѐнности																						вида							.
Поделив числитель и знаменатель на n , получим:
																																																				1				(4n			3)			n
	lim				1		5			9						13						...				(4n				3)					4n						1								lim							2										4n			1
																	n					1																2																			n		1							2
n																																																	n
			lim				2n2						n 4n 1															lim					4n2								2n 4n2											5n 1								lim				7n 1
									n	1												2																				2(n								1)													2(n			1)
			n																									n																																n
							7			1
																						7
			lim									n												.
										1												2
			n		2(1									)
											n
									Ответ:														7		.
																						2
е)				lim			4			10												28			...						1 3n							.
							5			25										125														n
				n																												5
Так как
	4 10 28															...								1 3n								1 3 1 9																				1							27			...						1 3n
	5					25	125																		5n							5			5						25							25				125							125									5n				5n
					1			1								1						...					1							3					9									27				...					3n		,
					5		25			125																	5n					5						25								125											5n
																																																																											n
а					последовательности																											1			,			1				,				1			,...,				1		,...					и		3				,	9		,	27			,...,		3		,
																																																					n																						n
																																5			25 125																	5										5				25 125									5

представляют собой бесконечно убывающие геометрические

	прогрессии со знаменателями q	1		и q	3		соответственно, и сумма
		5			5

88