Используем формулу:

U

U V

U V

.

V

V 2

y

sin x

cos x

1

sin x

sin x

cos x

1

sin x

.

1

sin x 2

Далее, учитывая, что

sin x

cos x ;

cos x

sin x ,

получим:

y

cos x

sin x

1

sin x

sin x

cos x

cos x

.

1

sin x 2

Преобразовав

выражение

в

числителе,

получим

y

cos x

sin x

1

cos x

1

.

1

sin x 2

1

sin x 2

1

sin x

Ответ:

y

cos x

sin x

1

cos x

1

.

1

sin x 2

1

sin x 2 1

sin x

б)

y

cos4

3x

1 .

Используем формулу:

U n

nU n

1

U .

y

cos4 3x 1

4cos3 (3x

1)

cos(3x

1) .

Так как

cosU

sinU U , значит:

y

4 cos3 (3x

1)

sin 3x

1

3x

1 .

Дифференцируя выражение 3x

1 , получим:

y

4 cos3 (3x

1) sin

3x

1

3

12 cos3 (3x

1) sin

3x

1 .

Ответ: 12 cos3 (3x

1) sin

3x

1 .

Пример 5.4

arctg

x3

1

а)

y

arcsin

1

x2

;

б)

y

.

3x2

Решение:

а)

y

arcsin

1

x2

Используем формулу:

arcsinU

1

U .

1

U 2

118

1

y

arcsin

1

x2

1

x2 .

1

(1

x2 )

1

Так как

U

U , имеем:

2

U

y

1

1

1

x2 .

1 (1 x2 ) 2 1 x2

Дифференцируя многочлен

1

x2 , получим:

y

1

1

2x

1

.

1 (1 x2 ) 2 1 x2

1 x2

Ответ:

y

x .

б)

y

arctg

x3

1

3x2

Используем формулу:

U

U V

UV

.

V

V 2

y

arctg

x3

1

1

arctg

x3

1

x2

arctg

x3

1

x2

.

3x2

3

x

2

2

Далее,

учитывая,

что

arctgU

1

U

,

xn

nxn 1 ,

1 U 2

получим:

1

x3

1

x2

arctg

x3 1

2x

1

1

x3

1 2

y

,

3

x4

1

3x2

x

arctg

x3

1

2

1

x3

1

2

y

1

.

3

x3

Преобразовывая дробь, получим:

3x3 2

1

x3

1 2

arctg

x3

1

y

.

3x3

1

x3

1 2

119

3x3

2

1

x3

1 2

arctg

x3 1

Ответ: y

.

3x3

1

x3

1 2

Пример 5.5

а)

y

ln

x3

4x2

1 ;

б) y

ln2 arcsin 4x .

Решение:

а)

y

ln

x3

4x2

1

Используем формулу:

lnU

1

U .

U

y

ln x3

4x2

1

1

x3

4x2

1 .

x3

4x2 1

Дифференцируя многочлен x3

4x2

1 , получим:

y

3x2

8x

.

x3 4x2

1

3x2

8x

Ответ: y

.

x3 4x2

1

б)

y

ln2 arcsin 4x

Используем формулу:

U n

nU n 1

U .

y

ln2 arcsin 4x

2ln

arcsin 4x

ln

arcsin 4x .

При дифференцировании последнего множителя, применяем

формулу

lnU

1

U . Получим:

U

y

2 ln

arcsin 4x

1

arcsin 4x .

arcsin 4x

Далее, учитывая, что

arcsinU

1

U , имеем:

1

U 2

y

2

ln

arcsin 4x

1

1

4x .

arcsin 4x

1

4x

2

8 ln arcsin 4x

Ответ: y . arcsin 4x 1 16x2

120

Пример 5.6

а)

y

e2 x

sin 3x 4;

б)

y

4cos 2 x .

Решение:

а)

y

e2 x

sin 3x .

Используем формулу:

U V

U

V

U V .

y

e2x

sin 3x

e2x

sin 3x

e2x

sin 3x .

Далее, учитывая, что

eU

eU

U

и

sinU

cosU U ,

получим:

y

e2 x

2x

sin 3x

e2 x

cos 3x

3x

2e2 x sin 3x

3e2 x

cos 3x .

Ответ:

2e2x

sin 3x 3e2x

cos3x .

б)

y

4cos 2 x .

Используем формулу:

aU

aU ln a U .

y

4cos 2x

4cos 2 x

ln 4

cos 2x .

Так как

cosU

sinU U , получим:

y

4cos 2 x

ln 4

sin 2x

2x

4cos 2 x 2ln 4 sin 2x .

Ответ: 4cos 2x 2ln 4 sin 2x .

Пример 5.7

а)	y	arcsin4 3x	cos 4x6 ;		б)	y	sin2 4x arctg3x4 .
				Решение:
а)	y	arcsin4 3x	cos 4x6 .
		Используем формулу: U V			U	V	U V .
y		arcsin4 3x cos 4x6		arcsin4 3x	cos 4x6		arcsin4 3x	cos 4x6 .
		В первом слагаемом применяем формулу U n						nU n 1 U , во
втором - cosU			sinU U . Получим:
y		4arcsin3 3x	arcsin 3x	cos 4x6	arcsin4 3x		sin 4x6	4x6 .

121