- •ВВЕДЕНИЕ
- •ГЛАВА 1 ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
- •§1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
- •Пример 1.1.
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 1.1.
- •а) разложив его по элементам i-й строки; б) разложив его по элементам j-го столбца; в) получив предварительно нули в i-й строке.
- •§2. МАТРИЦЫ
- •Пример 1.2.
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 1.2.
- •Даны две матрицы А и В.
- •§3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
- •Пример 1.3.
- •Пример 1.4.
- •Пример 1.5.
- •Пример 1.6.
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 1.3.
- •Задание 1.4.
- •В заданиях 1.5-1.6 решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.
- •Задание 1.5.
- •Задание 1.6.
- •§4. РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
- •Пример 1.7.
- •Пример 1.8.
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 1.7.
- •Решить матричное уравнение и сделать проверку
- •ГЛАВА 2 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
- •Пример 2.1
- •Пример 2.2
- •Пример 2.3
- •Пример 2.4
- •Пример 2.5
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 2.1.
- •Задание 2.2.
- •Задание 2.3
- •Задание 2.4.
- •Задание 2.5.
- •ГЛАВА 3 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
- •§1. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
- •Пример 3.1
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 3.1.
- •§2. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
- •Пример 3.2
- •Пример 3.3
- •Пример 3.4
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 3.2
- •Задание 3.3
- •Задание 3.4
- •Найти угол между плоскостями.
- •§3 ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
- •Пример 3.5
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 3.5
- •Написать каноническое уравнение прямой.
- •§4. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
- •Пример 3.6
- •Пример 3.7
- •Пример 3.8
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 3.6
- •Найти точку пересечения прямой и плоскости.
- •Задание 3.7
- •§5. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
- •Пример 3.9
- •Пример 3.10
- •Пример 3.11
- •Пример 3.12
- •Пример 3.13
- •Пример 3.14
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 3.8.
- •ГЛАВА 4 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
- •§ 1. ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
- •Пример 4.1
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 4.1
- •Вычислить пределы числовых последовательностей.
- •§ 2. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ
- •Пример 4.2
- •Вычислить пределы дробно-рациональных функций:
- •Пример 4.3
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 4.2.
- •Вычислить пределы дробно-рациональных функций
- •Задание 4.3.
- •Вычислить пределы иррациональных функций
- •§ 3. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ.
- •Пример 4.4
- •Пример 4.5
- •Пример 4.6
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 4.4.
- •Вычислить пределы, используя первый замечательный предел и его следствия.
- •Задание 4.5.
- •Задание 4.6
- •§ 4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
- •Пример 4.7
- •Пример 4.8
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 4.7.
- •Задание 4.8.
- •§ 1.ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
- •Пример 5.1
- •Пример 5.2
- •Пример 5.3
- •Пример 5.4
- •Пример 5.5
- •Пример 5.6
- •Пример 5.7
- •Пример 5.8
- •Пример 5.9
- •Пример 5.10
- •Пример 5.11
- •Пример 5.12
- •Пример 5.13
- •Задания для самостоятельного решения.
- •В заданиях 5.1-5.13 вычислить производные функций, используя таблицу производных и правила дифференцирования.
- •Задание 5.1
- •Задание 5.2.
- •Задание 5.3.
- •Задание 5.4.
- •Задание 5.5.
- •Задание 5.6.
- •Задание 5.7.
- •Задание 5.8.
- •Задание 5.9.
- •Задание 5.10.
- •Задание 5.11.
- •Задание 5.12.
- •Задание 5.13.
- •§ 2. ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
- •Пример 5.14
- •Пример 5.15
- •Пример 5.16
- •Задания для самостоятельного решения.
- •В заданиях 5.14-5.16 вычислить следующие производные, используя метод логарифмического дифференцирования
- •Задание 5.14.
- •Задание 5.15.
- •Задание 5.16
- •§ 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НЕЯВНО И ПАРАМЕТРИЧЕСКИ
- •Пример 5.17
- •Пример 5.18
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Задание 5.17.
- •Задание 5.18.
- •§4. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ
- •Пример 5.19
- •Пример 5.20
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя.
- •Задание 5.19
- •Задание 5.20.
- •§ 5. ПОЛНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
- •Пример 5.21
- •Пример 5.22
- •Пример 5.23
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Провести полное исследование функций и построить их графики
- •Задание 5.21.
- •Задание 5.22.
- •Задание 5.23.
- •§ 6. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ
- •Пример 5.24
- •Пример 5.25
- •Задания для самостоятельного решения.
- •С помощью дифференциала приближенно вычислить данные величины и оценить допущенную относительную погрешность (с точностью до двух знаков после запятой).
- •Задание 5.24.
- •Задание 5.25.
Задание 4.2.
Вычислить пределы дробно-рациональных функций
1. |
lim |
x2 |
5x |
6 |
. |
2. |
lim |
2x2 |
5x 7 |
. |
|
x2 |
3x |
2 |
3x2 |
x 2 |
|||||||
|
x 2 |
|
|
x 1 |
|
3. |
lim |
|
2x2 |
11x |
5 |
. |
|
|
4x2 |
8x |
3 |
||||
x |
1 |
|
|
||||
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
5. |
lim |
|
5x2 |
39x |
8 |
. |
|||
|
5x2 |
16x |
3 |
||||||
x |
1 |
|
|
||||||
|
5 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. |
lim |
|
|
x2 |
x |
12 |
. |
|
|
|
x2 |
5x |
6 |
|
|||||
|
x 3 |
|
|
|
9. |
lim |
|
x2 |
x |
12 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x2 |
2x |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
11. |
lim |
4x2 |
17x |
|
|
15 |
. |
|
|||||||||||
9x2 |
52x |
|
|
|
35 |
|
|||||||||||||
|
x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
13. |
lim |
|
6x2 |
5x |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|||||||
7x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
1 |
|
10x |
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||
15. |
lim |
|
2x4 |
7x |
|
3 |
. |
|
|
|
|
||||||||
5x2 |
13x |
|
|
6 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
17. |
lim |
|
x2 |
3x |
2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2x2 |
5x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
19. |
lim |
3x2 |
2x |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
||||||||
3x2 |
5x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
21. |
lim |
|
3x2 2x 1 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
3x2 |
5x |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23. |
lim |
|
x2 |
3x |
|
4 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x2 |
x |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
25. |
lim |
|
10x 8x2 |
|
|
|
3 |
|
. |
|
|||||||||
17x |
12x2 |
|
|
|
6 |
|
|
||||||||||||
x |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
27. |
lim |
|
x3 |
5x2 |
7x |
|
3 |
|
. |
||||||||||
|
|
|
4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
|
1 x3 |
5x |
|
2 |
|
|
|||||||||||
29. |
lim |
|
|
|
x4 |
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2x4 |
x2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
lim |
|
x2 |
4x |
|
3 |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
2x2 |
7x |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6. |
lim |
|
|
x2 |
|
x |
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
1 |
|
|
|
3x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
8. |
lim |
|
|
7x2 |
8x |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x2 |
2x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
lim |
3 |
|
10x 8x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||
3 |
|
11x |
|
6x |
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
12. |
lim |
|
4x2 |
5x |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
8x2 |
2x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
14. |
lim |
|
3x2 |
7x |
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x2 |
x |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
16. |
lim |
|
25x |
2 |
5x |
|
|
|
12 |
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
35x |
2 |
11x |
|
|
6 |
|
|||||||||||||||||
x |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
18. |
lim |
|
|
x2 |
x |
|
6 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2x2 |
x |
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
20. |
lim |
|
|
x2 |
x |
|
20 |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||
3x2 |
10x |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
22. |
lim |
|
6x2 |
5x |
|
4 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2x2 |
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
24. |
lim |
6x2 |
13x |
|
|
|
6 |
|
. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
6x2 |
5x |
|
6 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
26. |
lim |
|
|
|
2x2 |
x |
|
1 2 |
|
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x3 |
|
2x2 |
|
|
x |
|
|
|
|
2 |
||||||||||||
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
28. |
lim |
|
x3 |
|
x2 |
5x |
|
|
|
|
3 |
|
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
x3 |
|
x2 |
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
30. |
lim |
x3 |
|
5x2 |
|
8x |
|
|
|
4 |
. |
|||||||||||||
|
|
|
x |
3 |
3x |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
94