Итак, limln y 1	ln lim y 1		lim y e1 e . Поэтому предел
x 0	x	0	x 0
	1
функции равен lim ex	x x	e1	e.
x

Ответ: е.

Задания для самостоятельного решения.

Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя.

Задание 5.19

1.	lim	ln	x	5		.
		4
	x		x	3

3.	lim		tgx						x				.
	x 0		x			sin x
5.	lim arcsin									x					a			ctg x a .
	x a											a
					1
7.	lim		a x				1						x .
	x
9.	lim	1				cos x2											.
			x2				sin x2
	x 0
							1
11.	lim					ex2							1							.
			2arctg x										2
	x
13.	lim		x cos x										sin x						.
											3
	x 0							x
	lim			1				x								.
15.
												x
	x 1	1			sin
										2
17.	lim		chx				1					.
	x 0	1			cos x

	2.	lim	aln x	x	.
			x	1
		x 0

		1		4sin2									x
4.	lim								6
					1			x	2
	x 1															.
6.	lim				2arctg x ln x .
	x
8.	lim			1				x					.
			ln x					ln x
	x 1
10.	lim		tgx				x			.
	x 0	2sin x						x
12.	lim	x3			2x2 x								2			.
				x	3		7x						6
	x 1

14.lim ex .

x x5

16.lim ln x .

x 3x

18.	lim	x			.
				x
	x 0	ctg
				2

155

			1			2tgx
				cos2
19.	lim				x		.
			1		cos 4x
	x
	4

	lim					tgx			.
21.
						tg5x
	x
			2
23.	lim 1							x		tg					x		.
															2
	x		1
				3
25.	lim						1			2x					1	.
	x		1				2			x					x
	lim						1			x					.
27.
													x
	x		1	1				sin
												2
	lim				tg 3x					.
29.
						tg 5x
	x
			2

Задание 5.20.

1.

lim

arcsin 4x

.

x

0

5 5e 3x

3.

lim

ex2

1

.

cos x

1

x

0

5.

lim

etgx

1

.

tgx

x

x

0

lim

cos x ln

x a

.

7.

x

a

ln

e

x

e

a

9.

cos ex2

1

lim

.

cos x

1

x

0

11.

lim

xm

am

.

xn

an

x

a

13.

lim

3tg4x

12tg x

.

3sin 4x

x

0

12sin x

20.

lim

ln

sin mx

.

ln

x

0

sin x

22.

lim 1

cos x

ctg x .

x

0

24.

lim x sin

3

.

x

x

26.

lim

x cos x

sin x

.

3

x

0

x

28.

lim

tgx

sin x

.

x

0

4x

sin x

30.

lim

sec2 x 2tg x

1

cos 4x

x

4

2.lim ln cos x .

x0 x

				e			x				x2						x		1
4.	lim							2														.
															x		2
	x	0			cos x														1
												2
					ln 1									x					tg				x
6.	lim
																						2		.
													ctg						x
	x	1
	lim																1								.
8.
													x
	x		1 cos														ln 1						x
												2
10.	lim				e x								cos							x		.
					e			x					cos							x
	x	0
12.	lim x sin												a				.
													6x
	x
14.	lim							tgx									1			.
						2sin2 x
	x																		1
		4

156