x	6t 2 4,		x	arcsin t,
29.	3t5 .	30.	y	ln t.
y

§4. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ

Пример 5.19

Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя:

а)

lim

e5x

e3x

; б)

lim

ln sin 5x

; в)

lim

2arctg x

ln x .

sin 3x

sin x

ln sin 2x

x 0

x 0

x

Решение:

а) Устранение неопределенности вида

0

.

0

e

5 x

e

3x

0

e

5 x

e

3x

5e

5 x

3e

3x

5 1 3 1

lim

lim

lim

1

sin 3x

sin x

0

3cos3x

cos x

3 1 1

x

0

x

0

sin 3x

sin x

x 0

Ответ: 1.

б) Устранение неопределенности вида

.

Имеем неопределенность вида

.

Применив

получим:

5cos 5x

ln sin 5x

ln sin 5x

lim

lim

lim

sin 5x

2 cos 2x

x 0 ln sin 2x

x 0

ln sin 2x

x

0

sin 2x

правило Лопиталя,

lim	5cos 5x		sin 2x	;
	2 cos 2x		sin 5x
x 0

151

Так как lim

5cos5x

5

, то

2 cos 2x

2

x 0

lim

ln sin 5x

5

lim

sin 2x

0

;

x

0 ln sin 2x

2 x

0 sin 5x

0

Таким

образом,

получили

неопределенность

0

, которую также

0

можно раскрыть при помощи правила Лопиталя. Значит,

lim

ln sin 5x

5

lim

sin 2x

5

lim

2 cos 2x

5

2

1.

x 0

ln sin 2x

2 x 0

sin 5x

2 x

0

5cos5x

2

5

Ответ: 1.

в) Устранение неопределенности вида 0

.

Здесь имеем неопределенность вида

0

:

lim

2arctg x

ln x

0

.

x

Представим произведение в виде частного. Получив неопределенность

вида

0

, применим правило Лопиталя:

0

2

2arctg x

0

2arctg x

x

ln

2

x

1

x

2

lim

lim

lim

2 lim

1

0

1

1

1

x

x

x

1

x

x

2

ln x

ln2 x

x

ln x

Получили

неопределенность

вида

. Далее,

применяя

трижды

правило Лопиталя, получим:

2

ln2 x

x

2 ln x

1

2

2 lim

x

ln

x

2 lim

x

lim

ln

x

2 ln x

1

x2

2x

x

x

x

x

2

2 ln x

1

2

1

lim

ln

x

2 ln x

lim

x

x

2 lim

ln x

1

x

1

x

x

x

x

1

ln x 1

0

2 lim

2 lim

x

2

0.

x

1

x

x

1

На каждом этапе использования правила Лопиталя применяли тождественные преобразования, которые упростили соотношения.

152

Ответ: 0.

Пример 5.20

Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя.

ctg x

1

1

lim xln ex

1 ; в) lim

а) lim tg

x

; б)

ex

x x .

4

x 0

x

0

x

Решение:

а) Устранение неопределенности вида 1 .

Подставив

в функцию

предельное

значение

x ,

получим

неопределенность вида

1

.

Обозначим данную функцию через y ,

ctg x

то есть y tg

x

и прологарифмируем еѐ:

4

ctg x

ln tg

x

4

ln y

ln tg

x

ctg x ln tg

x

.

4

4

tg x

Вычислим предел логарифма данной функции, применяя правило

Лопиталя (здесь имеем неопределенность вида																																	0			):
																																	0
										ln tg								x											ln tg												x
																							0													4
	lim ln y							lim						4											lim
													tg x								0
	x 0							x	0																x	0										tg x
									1												1					1
		cos2						x		tg							x
																						cos2					tg													1
			4									4
lim																									4					4															2.
									1																1															1			2
x	0
																																												1
								cos2 x
																																								2
Итак,	limln y						2					ln lim y									2					lim y										e 2 . Таким образом,
	x 0														x		0									x 0
предел функции равен
																					ctgx								1
										lim tg									x					e 2							.
										x		0					4												e	2
Ответ:			1		.
			e2

153

б) Устранение неопределенности вида

00 .

Подставив

в

функцию

предельное

значение

x ,

получим

1

неопределенность

вида

00 .

Положим

x ln ex

1

y

и

прологарифмируем:

1

ln y

ln x

ln ex 1

1

ln x

ln x

.

ln

ex

1

ln

ex

1

Применив правило Лопиталя, получим:

1

ln x

ln x

ex

1

lim ln y

lim

lim

lim

x

lim

.

ln ex 1

ex

x ex

x 0

x 0

x 0

ln

e

x

1

x 0

x 0

ex

1

Воспользуемся

эквивалентными

бесконечно

малыми функциями:

ex 1

x при x

0 . Тогда

lim

ex

1

lim

x

lim

1

1 .

x ex

x ex

ex

x 0

x 0

x 0

Значит,

limln y

1

ln lim y

1

lim y

e1

e .

Таким

x

0

x

0

x

0

образом, предел функции равен

1

lim x

ln ex

1

e .

x

0

Ответ: е.

в) Устранение неопределенности вида

0 .

Имеем неопределенность

0

. Введем обозначение

1

y

ex

x

x .

1

1

ln

e

x

x

Тогда

ln y

ln

ex

x x

ln

ex

x

.

В

соответствии с

x

x

правилом Лопиталя получим:

ln

ex

x

ln

ex

x

1

ex

x

lim

ex

lim

lim

lim

ex

x

1

x

x

x

x

x

1

x

e

x

x

e

x

1

x

e

x

x

lim

lim

e

lim

lim

e

1.

ex

x

e

x

1

ex

1

x

x

x

x

x

e

154