29.

log ax

log ab

30.

7x

7

2

lim

.

lim

.

x

b

x

b

x

2

x

2

Задание 4.6

Определить порядок

относительно

x

данной

функции,

бесконечно малой при x 0 .

1.

2x2

2.

tgx sin x .

3.

x

.

e

cos x .

1

x

4.	ln 1				x sin x .
7.	ln 1			x2 x3 .
10.	1 2 cos				x
					3
	.
13.
	3 1		x		1 .

16.2sin4 x x5 .

19.
	cos x		3 cos x .
22.	1 2x			1 x
	.

5.

esin x 1.

8.1 x3 .

11.	ln 1		x				x2
	.
14.	ex		cos 2x .
17.
	3 x2
					x .
20.	tgx		x2 .
							x
23.	1		x2 tg
							2

.

25.				26.
		sin2 x x4 .			e x sin x				1.
28.	ln 1 tgx .			29.	4
									4
						16x				x	5	.

6.	lg 1	x .
9.	cos 2x	cos x .
12.	arcsin	4		x2 2 .
15.	cos 3x	cos x .
18.	ln 1	x2		3 x2 .

21.2sin x .

24. sin 2x 2sin x .

27.e3x 1 .

30. arcsin 1 x 1 .

§ 4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ

Пример 4.7

Установить, является ли данная функция y(x) непрерывной или

разрывной для каждого из данных значений x . Сделать схематический чертѐж.

1

2x

а) y(x) 2x 1 ;

x 2

;

x 1

;

б) y(x)

;

x 1

;

x

3 .

1

2

x 3

1

2

Решение:

103

1

а) y(x) 2x 1 ; x 2 ;

x 1.

1

2

Функция непрерывна в точке x0 , если она определена в этой

точке

и

существует

конечный

предел

lim y(x) , причем

x x0

lim y(x)

lim y(x)

y(x0 ) .

x x0

0

x

x0 0

Рассмотрим точку x1

2 .

1

1

Имеем:

y(2)

22 1 2 , lim 2x 1

2 , т.е.

lim y(x)

y(2) .

x

2

x 2

Следовательно, функция непрерывна при x1 2 .

Рассмотрим точку x2

1.

При

x2

1

функция

не

определена,

значит,

имеет разрыв. Для

выяснения характера разрыва в этой точке найдем пределы справа и слева:

1

1

lim 2x

1

2

0 , т.к. при

x

1

0 величина

x

1

стремится

2

x 1 0

к нулю, оставаясь отрицательной.

1

lim 2 x

1

2

, т.к.

при

x

1

0

величина

x

1

стремится к

x 1 0

нулю, оставаясь положительной.

Следовательно,

x2

1 является точкой разрыва второго рода,

так как предел справа равен бесконечности.

Дополнительно,

для построения схематического

чертежа,

1

вычислим пределы функции y(x)

2 x 1

при x

. Получим:

1

1

lim 2x 1

2 0

1 ;

lim 2x 1

2 0

1

x

x

На рисунке 8 изображен схематический чертѐж: y

x

104

Рисунок 8

105

Ответ: функция непрерывна при x1 2 , x2 1 является точкой разрыва второго рода.

б) y(x)

2x

; x 1; x

3 .

x

3

1

2

Эта функция является дробно-рациональной, и поэтому она

непрерывна во всех точках, в которых знаменатель отличен от нуля.

При

x1

1 знаменатель

равен

4

0 ,

значит

в точке

x1

1

функция непрерывна.

При x2

3 знаменатель равен нулю. Значит,

в точке

x2

3

функция не определена, и поэтому разрывна.

Определим характер разрыва. Для этого найдем

односторонние пределы:

lim

2x

;

lim

2x

.

x

3

x

3

x 3 0

x

3

0

Следовательно,

x2

3 является точкой разрыва второго рода,

так как пределы справа и слева бесконечны.

Дополнительно,

для построения

схематического чертежа,

вычислим пределы функции

y(x)

2x

при x

. Получим:

x

3

lim

2x

2

;

lim

2x

2 .

x

x

3

x

3

x

На рисунке 9 изображен схематический чертѐж: y

x

Рисунок 9

106