Пример 1.4.

Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы; в) методом Гаусса.

x y z 1, x y 2z 1, x y 3z 2.

Решение:

Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений. Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера-Капелли. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы

1 1 1 A 1 1 2 1 1 3

и ранг расширенной матрицы

1 1 1 1 B 1 1 2 1 .

1 1 3 2

Для этого первую строку умножим на (-1) и сложим почленно со второй и третьей строками соответственно результат запишем во вторую и третью строки:

	1	1	1	1	1	1	1	1
B	1	1	2	1	0	0	1	0 .
	1	1	3	2	0	0	2	1

Далее вторую строку умножим на (-2) и сложим с третьей, получим:

1 1 1 1 B 0 0 1 0 0 0 0 1

Так как rangA 2; rangB 3 , то согласно теореме КронекераКапелли, из того, что rangA rangB , следует несовместность

исходной системы.

Ответ: система не имеет решений.

Пример 1.5.

Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.

23

2x y z 0,

5x y 2z 0, x 2 y z 0.

Решение: Вычислим определитель системы:

2	1	1
5	1	2	24	0.
1	2	1

Поскольку			0 ,	то	данная система имеет только одно
нулевое решение:	x	y	z	0 .
Ответ: x	0;	y	0;	z	0.

Пример 1.6.

Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.

3x	4 y	2z	0,
x	y	4z	0,
5x	2 y	10z	0.

Решение:

Определитель этой системы

3 4 2

1 1 4 0,

5 2 10

поэтому система имеет ненулевые решения. Замечаем, что миноры, содержащиеся в первых двух строках, отличны от нуля, например,

	3	4		3	4	7.
1	1	1
	Возьмем первые два уравнения системы и найдем ее решение.
	Так как определитель, составленный из коэффициентов при
неизвестных x и y не							равен нулю, то	в качестве базисных
неизвестных				возьмем		x и	y (хотя можно	брать и другие	пары
неизвестных)				и	поместим		члены, содержащие неизвестную		z в
правую часть первого и второго уравнений:
3x	4 y		2z,
x	y	4z .

24