9.y

11.y

13.y

15.y

17.y

19.y

21.y

23.y

25.y

27.y

29.y

7arctg(4x							1)						.
	(x			4)2
2lg(4x					5)			.
(x				6)4
4 log3				(3x			1)				.
(x				1)2
ln(7x				2)		.
(x			6)4
5 log			2	(x2			1)				.
(x				3)4
3log2				(5x			4)				.
(x				3)5
log	7	(2x2					5)				.
(x				4)2
8lg(4x					5)		.
(x				1)5
3log4				(2x			9)					.
(x				7)2
3ln(x				2	5)		.
(x				7)3
2 ln(2x2					3)					.
(x				7)4

10.y

12.y

14.y

16.y

18.y

20.y

22.y

24.y

26.y

28.y

30.y

3arcsin(2x					7)					.
(x			2)4
5ln(5x			7)	.
(x		7)2
7 log4		(2x			5)			.
(x			1)5
4lg(3x			7)		.
(x		1)7
6 log3 (2x					9)			.
(x			4)2
7 log	5	(x2			x)			.
(x			3)3
2ln(3x			10)			.
(x		5)7
2 log3		(4x			7)				.
(x			3)4
lg(x2			2x)		.
(x		8)4
4log2		(3x			5)			.
(x			2)2
4lg(3x			7)		.
(x		5)3

§ 2. ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Пример 5.14

Вычислить производные, используя метод логарифмического дифференцирования.

y arctg x sin2 x .

Решение:

1) логарифмируем заданную функцию ln y ln arctg x sin2 x ,

140

используя свойство логарифмической функции ln ab b ln a , получим ln y sin2 x ln arctg x ;

2)дифференцируем полученное равенство по x , считая, что y есть функция от x

ln y

sin2 x ln

arctg x

;

1

y

sin2 x

ln arctg x

sin2 x

ln arctg x

;

y

1

y

2sin x cos x ln arctg x

sin2 x

1

1

;

y

arctg x 1

x2

3) находим из последнего уравнения y

	y	y sin 2x ln arctg x	sin2	x	;
			1 x2	arctg x

y arctg x

Ответ: y

arctg x

sin2 x

sin2 x

sin 2x	ln	arctg x			sin2	x		.
					x2
		1				arctg x
sin 2x	ln	arctg x			sin2 x			.
					x2
		1				arctg x

Пример 5.15

Вычислить производные, используя метод логарифмического дифференцирования.

1 3

y

x

5 x 4

.

x

7 2

Решение:

1)

логарифмируем заданную функцию

x 1 3

5

ln y

ln

x 4

,

x

7

2

используя

свойства

логарифмической

функции

ln

a

ln a

ln b, ln a b ln a

ln b, ln ab

b ln a , будем иметь

b

141

		ln y ln x 1 3																																ln x 7 2 ;
																		5 x 4
		ln y ln x 1 3														ln 5																		ln x 7 2 ;
																								x 4
		ln y				3ln			x	1						1		ln						x			4									2 ln					x			7 ;
																5
2) дифференцируем полученное равенство по																																													x ,		считая,			что y
есть функция от x
1		y 3		1					x 1							1 1																x 4									2			1					x 7	;
	y			x		1										5 x							4																					x 7
								1	y				3										1				1											2					;
								y					x			1							5				x						4					x			7
3) находим из последнего уравнения																																		y
					y			y				3											1														2				;
											x	1							5 x								4									x	7
						1 3			5
		y		x						x		4						3															1											2			.
						x			7	2									x				1							5 x							4						x	7
					x 1 3					5
Ответ: y												x				4							3														1							2					.
								x		7 2													x				1							5 x 4											x		7

Пример 5.16

Вычислить производные, используя метод логарифмического дифференцирования.

y	3		9x	5		sin x	2	3 .
			9x	4
								Решение:
	1)			логарифмируем заданную функцию

ln y

ln 3

9x

5

sin x2 3 ,

9x

4

используя

свойства

логарифма

функции

ln

a

ln a ln b,

b

1

ln a b

ln a ln b, ln ab b ln a и свойство степени

n a

a n , будем

иметь

142