Ответ: в точке x1 1 функция непрерывна, x2	3 является
точкой разрыва второго рода.

Пример 4.8

Найти точки разрыва функция y(x) , если они существуют. Сделать схематический чертѐж.

	x,		x	0,
а) y(x)	x3 ,	0		x 2,
	x	1,	x	2.
	x,		x	1,
б) y(x)	x2	1, 1 x 0,
	sin x,		x	0.
				Решение:
	x,		x	0,
а) y(x)	x3 ,	0		x 2,
	x	1,	x	2.

Данная функция представляет собой кусочно-непрерывную функцию. В интервалах ( ;0) (0;2) (2; ) функция y(x) задана

элементарными функциями, непрерывными в области задания. Точками разрыва могут быть только точки x 0 и x 2 , в которых функция претерпевает качественное изменение. Исследуем поведение функции при подходе к этим точкам.

При x 0 имеем:

y(0) 0 ;

		lim y(x)			lim x			0 ,
		x	0 0		x	0 0
		lim y(x)			lim x3			0 .
		x	0 0		x	0 0
Так как все три значения совпали			lim y(x)			lim y(x)			y(0)	0 , то в
			x 0	0		x 0	0
точке x	0 функция непрерывна.
При x	2 имеем:		y(2)	8 ;
		x	lim y(x)		x	lim x3		8 ,
			2 0			2 0
		x	lim y(x)		x	lim	x	1	3 .
			2 0			2 0
Имеем,	lim y(x)	lim y(x) . Так		как		односторонние				пределы
	x 2 0	x 2 0

конечны, но не совпадают, значит, в точке x 2 функция терпит разрыв первого рода, «скачок» равен 5.

107

На рисунке 10 изображен схематический чертѐж функции:

						9	y
						8
						7
						6
						5
						4
						3
						2
						1
									x
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1						0	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
						-1
						-2
						-3
						-4
						-5
						-6
						-7
				Рисунок 10
Ответ:		в	точке x	0	функция непрерывна,			в точке	x 2
функция терпит разрыв первого рода, «скачок» равен 5.
	x,	x	1,
б) y(x)	x2	1, 1 x 0,
	sin x, x		0.
Данная функция представляет собой кусочно-непрерывную
функцию.	В	интервалах		(	; 1)		( 1;0) (0; )	функция	y(x)

задана элементарными функциями, непрерывными в области задания. Точками разрыва могут быть только точки x 1 и x 0 , в которых функция претерпевает качественное изменение. Исследуем поведение функции при подходе к этим точкам.

При x 1 имеем:

y( 1) 1 ;

	lim y(x)		lim	x	1 ,
x	1 0	x	1	0
x	lim y(x)	x	lim	x2	1 2 .
	1 0		1	0

108