sin x , если

x 0;

30. y(x) x , если 0 x 2; 0 , если x 2.

ГЛАВА 5 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ

ПЕРЕМЕННОЙ

§ 1.ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

1)

C U

C U

(C const)

4)

U

U V

U V

V

V 2

2)

U V

U

V

5)

C

C

V

V

V 2

3)

U V

U

V

U V

6)

U

U

C

C

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

1.

U n

nU n

1

U

11.

arccosU

1

U

1

U 2

2.

1

1

U

12.

arctgU

1

U

U

U 2

1

U 2

1

1

3.

U

U ,

13.

arcctgU

U

1 U 2

2 U

4.

sinU

cosU U

14.

aU

aU ln a U

5.

cosU

sinU U

15.

eU

eU

U

6.

tgU

1

U

16.

lnU

1

U

cos2 U

U

7.

ctgU

1

U

17.

loga U

1

U

sin2 U

U ln a

8.

arcsinU

1

U

18.

shU

chU U

1 U 2

114

9.	chU	shU U			19. cthU	1	U
						sh2 U
10.	thU	1			U
			ch2 U

Вычислить производные функций, используя таблицу производных и правила дифференцирования.

Пример 5.1

3 1

3 4

5x4

x7

.

а) y 9x5

2 3 x2 ;

б) y 2 x

x4

x5

x3

x

3

Решение:

3 1

а) y 9x5

2 3 x2 .

x4

x

3

1

2 3

Функцию

y 9x5

x2

представляем

в

виде:

x4

x

2

y 9x5

3x 4

x 1

2 x3 .

Используем формулы:

U

V

U

V ;

C U

C U , где C

const ;

xn

nxn 1 .

Получим:

2

1

9x5

3x 4

x 1

9 5x4

3 ( 4) x 5

( 1) x 2

2

x

y

2 x3

2

3

3

1

45x4

12x 5

x 2

4

45x4

12 1

4

.

x 3

x5

x2

3

3 3 x

Ответ:

y

45x4

12

1

4

.

x5

x2

3 3 x

3 4

5x4

x7

.

б) y 2 x

x5

x3

3

115

Функцию y

3

4

5x4

x7

представляем в виде:

2

x

x5

x3

3

1

7

3x 5 4x 3

5x4

1

x

.

y 2x2

2

3

Используем формулы:

U

V

U

V ;

C U

C U , где C

const ;

xn

nxn

1 .

Получим:

		1
y	2x 2				3x 5					4x 3
					5
	5 4x3			1		7				1
							x2
	3				2								x
	Ответ: y									1

x

						1				7
5x4								x		2
				3
15				12
	x6				x4
15				12
		x6					x4

		1						1
	2					x 2 3 ( 5)x 6 4 ( 3)x 4
		2
			7
	20x3							x5 .
		6
				7
	20x3							x5 .
		6

Пример 5.2

2

4

5 x 2 4

а) y

3 6x2

4x 3

;

б)

y

.

x

3 4

6x3

2x2

1

Решение:

2

а) y

3 6x2

4x 3

.

x

3

4

Используем формулу:

U

V

U V . Получим:

1

2 x 3 4

y

6x2

4x 3 3

Далее, при дифференцировании первого и второго слагаемых,

применяем формулу U n

nU n 1

U . Получим:

1

2

2 4 x 3 5

y

6x2

4x 3 3

6x2

4x 3

x 3

3

116

Дифференцируя

многочлены

6x2

4x

3

и

x

3

по

формулам

U

V

U

V ;

C U

C U ,

где

C

const ;

xn

nxn

1 получим:

1

2

12x 4 8 x 3 5

y

6x2

4x 3 3

1 .

3

Ответ:

y

12x

4

8

.

3 5

3 3 6x2

4x

3 2

x

4

б)

y

5 x

2 4

.

6x3

2x2

1

Используем формулу:

U

V

U

V . Получим:

4

4 6x3

2x2

1 1

y

x 2 5

Далее, применяем формулу

U n

nU n 1

U . Получим:

4

1

x 2 4 1 6x3

2x2

1 2

6x3

2x2

y

x 2 5

1

5

Дифференцируя

многочлены

6x3

2x2

1

и

x

2

получим:

4

1

1 2

y

x 2

5

1 4 6x3

2x2

18x2

4x .

5

Ответ:

y

4

4

18x2 4x

.

1 2

5 5 x

2

6x3

2x2

Пример 5.3

а)

y

sin x

cos x

;

б)

y

cos4 3x 1 .

1

sin x

Решение:

а)

y

sin x

cos x

1

sin x

117