Учитывая, что

arcsinU

1

U , имеем:

1

U 2

y

4 arcsin3 3x

3x

cos 4x6

24x5 arcsin4 3x sin 4x6 .

1

3x 2

Ответ: y

arcsin3 3x

12

cos 4x6

24x5 arcsin4 3x sin 4x6 .

1

9x2

б)

y

sin2 4x

arctg3x4 .

Используем формулу:

U V

U

V

U V .

y

sin2 4x

arctg3x4

sin2 4x

arctg3x4

sin2 4x

arctg3x4 .

Далее,

учитывая,

что

U n

nU n

1 U

и

arctgU

1

U , получим:

1 U 2

y

2sin 4x

sin 4x

arctg3x4

sin2 4x

3x4

.

1

3x4

2

Так как sinU

cosU U , получим:

y

2sin 4x cos 4x

4x

arctg3x4

sin2 4x

12x3

.

1

9x8

Ответ: y

8sin 4x cos 4x

arctg3x4

sin2 4x

12x3

.

1

9x8

Пример 5.8

а)

y

x

1 5

cos3 4x ;

б)

y

tg 4 2x

log3

x

2 .

Решение:

а)

y

x

1 5

cos3 4x .

Используем формулу:

U V

U

V

U V .

y

x

1 5

cos3 4x

x 1 5

cos3 4x

x

1 5

cos3 4x .

Далее, так как

U n

nU n 1 U , получим:

122

y

5

x

1 4

x

1

cos3 4x

x

1 5 3cos2 4x

cos 4x .

Применяя

формулу

cosU

sinU U ,

окончательно

имеем:

y

5

x

1 4

1 cos3 4x

x

1 5 3cos2 4x

sin 4x

4x .

Ответ:

y

5 x

1 4

cos3 4x

12

x

1 5

cos2 4x sin 4x .

б)

y

tg 4 2x

log3

x

2 .

Используем формулу:

U V

U

V

U V .

y

tg4 2x log

3

x

2

tg4

2x

log

3

x

2

tg4 2x

log

3

x 2 .

Далее,

так как

U n

nU n

1

U

и

log

U

1

U ,

a

U ln a

получим:

y

4tg3 2x

tg 2x

log

x

2

tg 4 2x

1

x

2 .

3

x

2 ln 3

Применяем формулу:

tgU

1

U

и,

дифференцируя

cos2 U

x

2

, получим:

y

4tg3 2x

2x

log

x

2

tg4 2x

1

.

cos2 2x

3

x

2 ln 3

Ответ:

y

8 tg3 2x

log3

x

2

tg4 2x

.

cos2 2x

x

2 ln 3

Пример 5.9

y

3

3x

1 4

cos 2x5 ;

arcctg x4 .

а)

б)

y

2x

5

Решение:

а)

y

3

3x

1 4

cos 2x5

4

cos 2x5 .

Преобразуем заданную функцию:

y

3x

1

3

Используем формулу:

U V

U

V

U V .

123

4

cos 2x5

4

cos 2x5

y

3x 1

3

3x

1

3

Далее

используем

формулы

дифференцирования:

U n

n U n 1

U

и

cosU

sinU U . Получим

y

4 3x

1 3

3x

1

cos 2x5

3x

1

3

sin 2x5 2x5 ,

1

4

3

3 cos 2x5

sin 2x5

10x4 .

y

4

3x

1 3

3x

1 3

1

4

3

1

cos 2x5

10x4

4

sin 2x5 .

Ответ:

y

4

3x

1

3

3x

1

3

arcctg x4 .

б)

y

2x

5

Используем формулу:

U V

U

V

U V .

arcctg x4

arcctg x4 .

y

2x

5

2x

5

Далее

используем

формулы

дифференцирования:

1

1

U

U и

arcctgU

U

. Получим

1

U 2

2

U

1

arcctg x4

1

x4

,

y

2x

5

2x

5

2

2

2x

5

1

x4

1

2 arcctg x4

1

4x3 .

y

2x 5

x8

2

2x

5

1

arcctg x4

4x3

Ответ:

y

2x

5

.

1

x8

2x

5

Пример 5.10

а)

y

sh5 2x

arctg

5x

1

;

б)

y

ch 3x arcsin

1

.

x

Решение:

а)

y

sh5 2x

arctg

5x

1 .

Используем формулу:

U V

U

V

U V .

y

sh5 2x

arctg 5x 1

sh5 2x

arctg 5x

1 .

124

Далее

используем

формулы

дифференцирования:

U n

n U n 1

U

и

arctgU

1

U . Получим

1

U 2

y

5sh4 2x

sh 2x

arctg 5x

1

sh5 2x

1

5x 1 .

1

5x 1 2

Так как

shU

chU U , то

y

5sh4 2x ch 2x

2x

arctg 5x

1

sh5 2x

1

5 .

2

1

5x

1

Ответ:

y

10sh4 2x ch 2x arctg 5x

1

5sh5 2x

.

1

5x 1

2

б) y

ch 3x arcsin

1

.

x

Используем формулу:

U V

U

V

U V .

y

ch 3x

arcsin

1

ch 3x

arcsin

1

.

x

x

Далее

применяем

формулы

дифференцирования:

chU

shU U

и

arcsin U

1

U . Получим

1 U 2

y

sh 3x

3x

arcsin

1

ch 3x

1

1

,

x

x

1

1

x2

y

sh 3x 3 arcsin

1

ch 3x

1

1

,

x

x2

x2

1

x2

y

3 sh 3x

arcsin

1

ch 3x

x

.

x

x2

x2

1

Ответ:

y

3 sh 3x

arcsin

1

ch

3x

.

x

x

x2

1

Пример 5.11

а) y

e x2

5

;

б) y

x2

3x

1

.

x 1 4

e5x

125

Решение:

а)	y			e x2 5						.
				x		1		4
					Используем формулу:																													U										U V						U V				,
																																		V												V 2
		e x2				5					x 1 4								e x2								5						x 1 4
y																																												.
																		1 4				2
															x
					Далее используем формулы дифференцирования:
eU				eU			U				и			U n								n U n 1 U . Получим
		e x2 5							x2					5					x 1 4													e x2					5 4 x 1 3													x 1
y																																																								.
																										x 1 8
																											1
					Так как										U																		U , то
																						2						U
																			1
									e			x2		5																	x		2		5									x		1	4			e		x2	5			4 x 1			3
					y										2					x2							5																																	,
																																					x				1 8
																			1
									e			x2		5																	2x					x					1		4			4e				x2 5			x			1	3
					y										2					x2							5																															,
																																		x	1 8
																													x				x		1
										x				1	3			e			x2	5																					4
					y																											x2			5											.
																						x					1 8
																	e x2					5					x2						x 4 x2													5
					Ответ:							y																																					.
																											1 5
																									x											x2							5
б)	y			x2			3x				1			.
						e5x
																																			126