1	1	1		1		0	0
27.	5	3	4 X		0		2	0 .
	5	1	4		0		0	3
	2	7	1		6		7		30
28.	3	2	4	X	13		2		8 .
	1	3	5		21		3		18
	1	0	2		4		1		11
29.	0	1	3	X	0		11		19 .
	4	0	5		13	13			29
		2	7	1	4		1		11
30.	X	3	2	4	0		11		19 .
		1	3	5	13		13		29

ГЛАВА 2 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Пример 2.1

Написать

разложение

вектора

x по

векторам p, q, r , если

x 3;7; 7 ; p

2;1;0 ; q 1;

1; 2 ; r

2; 2;

1 .

Решение:

40

Если

векторы

p, q, r

в

трехмерном

пространстве

некомпланарны,

то

любой четвертый вектор x

этого

пространства

можно разложить по этим векторам единственным образом

x

p

q

r.

Проверим

компланарны

ли

векторы

p, q, r , для этого

вычислим определитель, составленный из координат этих векторов.

2	1	0
1	1	2	2 4 8 1 1 0 , значит					p, q, r						некомпланарны.
2	2	1
	Подставим в разложение x					p			q					r вместо векторов

x, p, q, r их координаты, получим:

3; 7;

7

2;1; 0

1;

1; 2

2; 2;

1 .

Из условия равенства векторов, составим систему уравнений и решим ее по формулам Крамера.

2			2		3;
			2	7;
2			7.
			1	2
	2
	1		1	2					1.
	0		2	1
			1		2
		3
		7	1		2				3	14		28		14	12	7	2 .
		7	2		1
			3		2
		2
		1	7		2				14		14	28		3	3 .
		0	7		1
			1		3
		2
		1	1		7				14	6	28		7		1 .
		0	2		7
, ,			получаются из										путем замены соответственно первого,

второго, третьего столбца столбцом свободных членов. Далее по формулам Крамера:

41

;

;

2

2;

3

3;

1

1.

1

1

1

Получили разложение вектора x по векторам

p, q, r :

x

2 p

3q

r .

Ответ: x

2 p

3q

r .

Пример 2.2

Найти

косинус

угла

между

векторами

AB и

AC , если

A 1;3;

7 ; B 2;

1;5

; C 0;1;

5 .

Решение:

Найдем

координаты

векторов

AB

и AC ,

для этого из

координат конца вектора вычтем координаты начала вектора. Имеем,

AB 3; 4;12 ; AC 1; 2;2 .

Для определения косинуса угла между векторами воспользуемся определением скалярного произведения двух векторов:

							AB AC						AB						AC				cos(AB; AC) ,
откуда
																		AB					AC				,
					cos( AB; AC)
																		AB					AC
Имеем,
					3 1			4						2				12 2									3 8 24					35
cos( AB; AC)																																	.
																											13 3				39
								169						9

Ответ: cos( AB; AC) 3935 .

Пример 2.3

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и

3

.

b , если a 3 p 2q, b 2 p q;

p

4;

q

3; ( p, q)

4

Решение:

42

Известно, что площадь параллелограмма численно равна

модулю векторного произведения векторов a и b , на которых, как на сторонах построен параллелограмм:

S

a

b

Вычислим

a

b ,

используя

определение

и

свойства

векторного произведения.

a b 3 p 2q

2 p q 6 p p 4 q p 3 p q 2 q q

4

q

p

3

q

p

7

q

p .

Тогда,

3

2

a

b

7

q

p

7

q

p

sin( p, q)

7 3 4 sin

84

41 2 .

4

2

S

a

b

41

2

41 2 (кв.ед.)

Ответ:

S

41 2 кв.ед.

Пример 2.4

Определить

коллинеарны

ли векторы

c1

и

c2

, построенные по

векторам

a

и

b ,

если

a

1; 2;8 ; b

3;7;

1 ; c1

4a

3b; c2

9b

12a?

Решение:

I способ.

Для решения данной задачи воспользуемся определением

коллинеарности двух векторов. Пусть c1

x1; y1; z1

и

c2

x2 ; y2 ; z2

.

x1

y1

z1

Если c1

c2

, то

k .

x2

y2

z2

Вычислим координаты векторов c1 и c2 .

c1

4a 3b;

4a

4;8;32 ;

3b

9;21;

3 ;

c1

4

9;8

21;32

3

13;

13;35 ;

c2

9b 12a;

9b

27;63;

9 ,

12a

12;

24;

96 ;

c2

27

12;63

24 ;

9

96

39;39;

105 .

Проверим условие коллинеарности векторов:

43

		13			13		35		1	.
		39			39		105		3
k	1	- векторы коллинеарны.
	3

II способ. Если векторы коллинеарны, то угол между ними равен 00 или 1800 . Используем определение скалярного произведения для

определения косинуса угла между векторами c1

и c2 :

c1 c2

c1

c2

cos(c1;c2 ) .

Отсюда

c1

c2

cos(c1 ; c2 )

c1

c2

Если

и

,

то

c1

13;

13;35

c2

39;39; 105

13 39

13

39

35

105

cos(c1 ; c2 )

13 2

13 2

352

392

392

105 2

507

507

3675

4689

4689

1 .

4689

1563

14067

21986721

Так как cos(c1; c2 )

1, то угол между векторами

c1 и

c2

равен 1800 , векторы коллинеарны и противоположно направлены.

III способ.

Два не нулевых вектора c1

и c2

коллинеарны тогда и только

тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т.е.

c1

c2

c1

c2 0 .

Так как векторы c1 и c2 заданы в координатной форме, то:

i j k

c1 c2			x1 y1 z1 .

x2 y2 z2

i j k

c1 c2			13 13 35

39 39 105

44