Пример 5.22

Исследовать функцию y x2e x и построить еѐ график.

Решение:
1) Область определения функции: x	,	.

2)Точек разрыва нет и вертикальных асимптот нет.

3)Найдем точки пересечения графика функции с осью Ox :

	x2e x	x		0,
y 0		0,	x	x 0.
		e		0
Точки пересечения с осью Oy : x		0	y	0 .

Таким образом, точка пересечения графика функции с координатными

осями есть точка О (0;0).
4)	Функция не	является		ни	чѐтной, ни нечѐтной,		т.к.
y x	x2ex y(x),	y(x).
5)	Находим точки экстремумов, интервалы монотонности.						Для
этого вычислим первую производную и решим уравнение y x							0 .
		y	2xe x		x2e x
		y	xe x	2	x ,	y 0.
			xe x	2	x	0.
		x1	0,	x2	2

Исследование знаков первой производной, а также поведение функции с учетом известных теорем удобно выполнить в таблице. Для этого область определения функции найденными точками разбиваем на интервалы.

			0; 2
х	( , 0)	0		2		2;
y	-	0	+	0		-
y		0		4e 2	0,54
		min		max

6) Найдѐм точки перегиба, интервалы выпуклости, вогнутости графика функции. Для этого вычислим вторую производную и решим

уравнение y x 0 .

163

y	2e x	4xe x	x2e x
y	0,	e x 2 4x x2				0, x2	4x 2 0.
		x3 2		2 3, 41; x4 2			2 0, 59

Исследование знаков второй производной, а также поведение функции с учетом известных теорем удобно выполнить в таблице. Для этого область определения функции найденными точками разбиваем на интервалы.

0, 59;3, 41

х

; 0, 59

0,59

3, 41

3, 41;

y

+

0

-

0

+

y

0,191

0,383

перегиб

перегиб

7)

Асимптоты

а) наклонная y

kx b

k

lim

x2e

x

lim

x

lim

1

0 .

x

e

x

e

x

x

x

x

Таким образом, наклонных асимптот нет.

б) горизонтальная y

b

b

lim x2e x lim

x2

lim

2x

lim

2

0.

e

x

e

x

e

x

x

x

x

x

y

0 - горизонтальная асимптота при x

lim x2e x

lim

x 2

ex

.

x

x

Таким образом, при x

горизонтальных асимптот нет.

8)

По данным исследования построим график функции y x2e x .

164

		5	y
		4
		3
		2
		1
									x
-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7
		-1
		-2

Рисунок 13

Пример 5.23

ln x

Исследовать функцию y и построить еѐ график.

x

Решение:

1) Функция определена в интервале 0, .

2)Точек разрыва нет и вертикальных асимптот нет.

3)Найдем точки пересечения графика функции с осью Ox :

y	0	ln x			0,	ln x	0,	x 1.
						x	0
			x
Таким образом,	точка пересечения графика функции с осью Ox
есть точка (1;0).
Точек пересечения с осью Oy нет.

4)Функция не является ни чѐтной, ни нечѐтной.

5)Находим точки экстремумов, интервалы монотонности. Для

этого вычислим первую производную и решим уравнение y x 0 .

1

1

x

ln x

2

ln x

x

y

2

x

;

x

2

x3

y 0,

2

ln x

0,

x

e2

7, 4 .

Исследование знаков первой производной, а также поведение функции с учетом известных теорем удобно выполнить в таблице. Для этого

165

область определения функции найденными точками разбиваем на интервалы.

	х		0, e2														e2								e2 ,
	y			+												0
	y												2
																0, 74 max
													e
6) Найдѐм точки перегиба, интервалы выпуклости, вогнутости
графика функции. Для этого вычислим																			вторую производную и решим
уравнение y x		0 .
											1				3		3			1					3
		2		ln x									x2						x2 2 ln x							ln x 4
	y										x					2									2
																													,
																	3x3									x2
			2x		x																						x
								3											8
			y	0,					ln x				4			0,			x e3 14, 4 .
								2

Исследование знаков второй производной, а также поведение функции с учетом известных теорем удобно выполнить в таблице. Для этого область определения функции найденными точками разбиваем на интервалы.

х

0, e8 3

e8 3

e8 3 ,

y

0

+

y

4

8

e 3

0, 7 перегиб

3

7)

Асимптоты

а) наклонная y

kx

b

k

lim

ln

x

lim

1

0 .

3

x

x

x

x

x

x

2

Значит, наклонных асимптот нет.

б) горизонтальная y

b

b

lim

ln

x

lim

2 x

lim

2

0 .

x

x

x

x

x

x

Таким образом,

y

0 -

горизонтальная асимптота

8)

По данным исследования построим график функции y

ln

x

.

x

166