7.	y	8		5x	1			ln(3x				x	2	) .		8.	y	9	x	3			log5			(2x					3) .
				5x	1														x	3
9.				6x	5							7) .				10.		3	4x	1								3		3) .
	y			6x	5 lg(4x												y		4x		1 ln(2x
11.		4		x	6					2		1) .				12.		5	x	7									3		x) .
	y			x	6 sin(3x												y		x	7 cos(2x
13.		6		x	9				2							14.		7	x	4
	y			x	9tg(3x							4x			1) .		y		x	4ctg(2x 5) .
15.		8		x	2						2		7x 2) .			16.		9	x	3							2					2) .
	y			x	2 sin(4x												y		x	3 cos(x										3x
17.	y			3x	2			tg(2x2					9) .			18.	y		2x	3					ctg(3x2						5) .
				3x	2														2x	3
19.		4		x	5					2						20.		5	x	6
	y			x	5 sin(3x								x		4) .		y		x	6 cos(7x										2) .
21.		6		x	7										3) .	22.		7	x	8												5) .
	y			x	7 arcsin(2x												y		x	8 arccos(3x
23.		8		x	4											24.		9	x	1
	y			x	4arctg(5x 1) .												y		x	1arcctg(7x 2) .
25.				7x	4								2			26.		3	8x	3											2
	y			7x		4 arcsin(x									1) .		y		8x		3 arccos(x											5) .
27.		4		2x	5											28.		5	3x	4
	y			2x	5arctg(3x										2) .		y		3x		4arcctg(2x 5) .
29.		6		x2	1											30.		7	x2	3
	y			x2	1 arcsin 2x .												y		x2		3 arccos 4x .

§ 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НЕЯВНО И ПАРАМЕТРИЧЕСКИ

Пример 5.17

Найти y и y для функции, заданной неявно y 2x y3 sin x 0 .

Решение:

Для того чтобы продифференцировать эту функцию:

146

1) дифференцируем обе части уравнения по x , считая, что y есть функция от x

y

2

y3

sin x

y3

sin x

0;

y

2

3y2

y

sin x

y3 cos x

0;

2)

слагаемые,

содержащие

y ,

группируем

в левой части

уравнения, не содержащие y , переносим в правую часть

y

3y2 y

sin x

2

y3

cos x ;

3)

решаем полученное уравнение относительно

y

y

1 3y2

sin x

2

y3 cos x ;

y

2

y3

cos x

.

1

3y2

sin x

Полученная функция также является неявно заданной. Еѐ

производную находим, считая, что y и y

- функции, зависящие от x .

2

y

3

cos x

2

y

3

cos x

1

3y

2

sin x

2 y

3

cos x 1

3y

2

sin x

y

;

1

3y2

sin x

1

3y

2

sin x

2

y3

cos x

y3

cos x

1

3y2 sin x

2

y3 cos x

3y2

sin x

3y2

sin x

y

;

1

3y2 sin x 2

3y2

y cos x

y3

sin x

1

3y2 sin x

2 y3 cos x

6 yy sin x

3y2 cos x

y

;

1

3y2 sin x 2

y3 sin x

3y2 y cos x

1

3y2 sin x

2

y3 cos x

6 yy sin x

3y2 cos x

y

.

1

3y2 sin x

2

где y

2

y3

cos x

.

1

3y2

sin x

Ответ: y

2

y3

cos x

,

1

3y2

sin x

y3 sin x

3y2 y cos x

1

3y2 sin x

2

y3 cos x

6 yy sin x

3y2 cos x

y

1

3y2 sin x

2

Пример 5.18

147

Найти y и y для функции, заданной параметрически. x arcsin t,

y

ln 1

t 2 .

Решение:

Для того чтобы найти

y

,

воспользуемся формулой:

y

yt

. Найдем

x

x

xt

сначала yt и xt .

y

ln 1 t2

2t

;

t2

t

1

xt

arcsin t

1

.

1

t2

Подставим полученные производные в формулу. Получим

2t

2t

yx

1

t2

.

1

1

t

2

1

t2

Для

того

чтобы

найти

y

,

воспользуемся

формулой:

y

yx

t

.

xx

xx

xt

Найдем

yx

t .

2t

2

2 1

t

2

2t

2

2

1

t 2

2

t 2

yx

2t

2 1

2 1

t 2

t

1

t 2

1

t 2

1 t 2

2

2t 2

2t2

2

.

1 t2

1 t 2

1 t 2

1 t 2

Подставим полученную производную в формулу. Имеем

2

yxx

1

t 2

1

t 2

2

2

2

.

1

1

1 t

2

t

2

1

1

t 2

1

t 2

t 2

t 2

1

1

Ответ: yx

2t

,

y

2

.

xx

t2

1

t 2

1

148