§5. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Пример 3.9

Какое геометрическое место точек определяет уравнение

			3x2			3y2		4x 9 y 4 0 ?
							Решение:
Разделим обе части уравнения на 3 и, дополняя до полных
квадратов, находим
x2 2	2	x		4			y2	2	3		y		9				4		9		4	0
	3		9						2				4	9				4		3
или
				x		2	2	y		3 2					49	.
						3				2					36

	Сравнивая		полученное	уравнение		с	уравнением
	x a 2 y	b 2	R2 , которое определяет окружность с центром в
	точке C a;b	и радиусом R , заключаем, что a			2	; b	3	; R	7	.
					3		2		6

Таким образом, искомое уравнение определяет окружность с центром

	в точке C	2	;	3	и радиусом R	7	(рис. 2).
		3		2		6

75

y

x

	C	2	;	3
		3		2

Рисунок 2

Ответ: данное уравнение определяет окружность с центром в

точке C

2

;

3

и радиусом R

7

.

3

2

6

Пример 3.10

Определить

вид

и расположение

на

плоскости линии

4x2

9 y2

8x 36 y 68 0 .

Решение:

Преобразуем левую часть уравнения, выделяя полные

квадраты:

4 x2

2x 1 9 y2

4y 4 4 36 68 0

или

4 x

1 2

9 y

2 2

36 .

Разделим обе части на 36:

x

1 2

y

2 2

1 .

9

4

Сравнивая

полученное

уравнение

с

уравнением

2

2

x x0

y

y0

1 , которое определяет гиперболу с центром в

a2

b2

76

точке C x0 ; y0 и полуосями a и b , заключаем, что искомое уравнение определяет гиперболу с центром в точке C 1; 2 и полуосями a 3, b 2 (рис. 3).

y

x

C 1; 2

Рисунок 3

Ответ: данное уравнение определяет гиперболу с центром в точке C 1; 2 и полуосями a 3, b 2 .

Пример 3.11

Определить вид кривой и ее расположение на плоскости по уравнению:

9x2 4 y2 54x 32 y 109 0 .

Решение:

Выделяя полные квадраты, преобразуем левую часть уравнения:

9 x 3 2 4 y 4 2 36 .

Разделим обе части уравнения на 36:

77

x

3 2

y

4 2

1 .

4

9

Сравниваем

полученное

уравнение

с

уравнением

2

2

x

x0

y y0

1

, которое определяет эллипс с центром в точке

a2

b2

C

x0 ; y0

и полуосями

a

и b ,

заключаем, что искомое уравнение

определяет эллипс с центром в точке C 3; 4 и полуосями a 2 и b 3 (рис. 4).

y

C 3; 4

									x
				Рисунок 4
Ответ: данное уравнение определяет эллипс с центром в точке
C 3; 4 и полуосями a			2 и b			3.
	Пример 3.12
Написать	уравнение		траектории точки					M x; y	обладающей
свойством: М в 2 раза ближе к точке А(4;0), чем к точке В(-2;0).
					Решение:
Координаты точки М обозначим							x	и y , т.е.	M (x; y) . По
условию задачи 2		AM		BM	.	Расстояние	d	между двумя точками
M1 (x1; y1 )	и M 2 (x2 ; y2 ) определяется по формуле:

78

d

M

M

2

x

x

2

y

2

y 2 .

1

2

1

1

Тогда

AM

x

4 2

y2

,

BM

x

2 2

y2 .

Подставляя

эти

выражения

в

равенство

2

AM

BM

,

получим уравнение траектории движения точки M :

2

x 4 2

y2

x 2 2

y2 .

Упростим полученное уравнение:

4 (x2

8x 16 y2 ) x2

4x 4 y2 ;

3x2

36x 60 3y2

0 ;

Разделим обе части уравнения на 3 и, дополняя до полных

квадратов, находим

x2

12x 20

y2

0 ;

x2

12x

36

16

y2

0 ;

x

6 2

y2

16 .

Сравнивая

полученное

уравнение

с

уравнением

x a 2 y

b 2 R2 ,

которое определяет окружность с центром в

точке C(a;b) и радиусом R , заключаем,

что a

6 ,

b

0 , R

4 , т.е.

искомое уравнение определяет окружность с центром в точке C(6;0) и

радиусом R

4 (рис. 5).

79