ГЛАВА 3 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

§1. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

Пример 3.1

Даны вершины треугольника ABC :

A 2;3

, B

2; 1 ,

C 1; 4 . Найти:

а) уравнение стороны AB ;

б) уравнение высоты CH ;

в) уравнение медианы AM ;

г) уравнение биссектрисы AL ;

д) точку N пересечения медианы AM и высоты CH ;

е) уравнение прямой, проходящей

через

вершину

C

параллельно

стороне AB ;

ж) расстояние от точки C до прямой AB .

Решение:

а) Уравнение прямой, проходящей через

две

точки

M1 x1 ; y1 и

M 2 x2 ; y2

имеет вид:

x

x1

y

y1

.

x2

x1

y2

y1

Значит,

уравнение стороны

AB

проходящей

через точки

A 2;3 и B

2;

1 будет следующим:

x

2

y

3

,

2

2

1

3

откуда

x 2 y 3 ,

44

x2 y 3

или x y 1 0.

Таким образом, AB : x y 1 0 .

б) Составим уравнение высоты CH . Так как CH - высота, то прямые AB и CH перпендикулярны.

54

I способ: Для того, чтобы прямые AB и CH были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были

связаны соотношением k1 k2				1 .
Угловой коэффициент прямой				AB равен				k1 1 , так как	x	y 1 0
или y x	1. Тогда k2	1 .
Уравнение высоты CH ищем в виде:
		y	y0		k	x	x0 ,
где x0 ; y0	- координаты точки,				принадлежащей прямой,				k	- угловой
коэффициент искомой прямой.
Прямая CH		проходит			через			точку C 1; 4	с	угловым
коэффициентом k2		1 . Получим:
		y	4			1 x	1 ,
		y	4		x	1	0,
		x	y		5	0.

II способ: Для составления уравнения

высоты CH

используем

уравнение

прямой, проходящей

через

данную

точку

M 0 x0 ; y0

с

заданным нормальным вектором n

A; B :

A

x

x0

B

y

y0

0 .

В данном случае прямая CH проходит через точку C 1; 4

, в

качестве

нормального

вектора

берем

вектор

AB ,

т.е.

nCH AB

4; 4 . Получим:

4 x

1

4

y

4

0,

4x

4 y

20

0,

x

y

5

0.

Таким образом, CH : x

y

5

0.

в) Пусть точка M - середина стороны

BC .

Координаты точки

M

определим из соотношений:

x

xB

xC

;

y

yB

yC

.

M

2

M

2

Получим: xM

2 1

1

;

yM

1

4

3

.

2

2

2

2

Таким образом, точка M

1

;

3

.

2

2

55

		Уравнение медианы																							AM составляем по двум точкам A 2;3
	и M		1	;	3	,	используя уравнение прямой, проходящей через две
		2			2
	данные точки.
																						x			2									y			3			,
																							1		2									3			3
																							2											2
																				x					2						y			3			,
																							5											3
																							2								2
																		3						x	2									5			y						3 ,
																			3x 5 y 9 0.
		Таким образом, AM :3x																													5y						9						0 .
	г) Найдем уравнение биссектрисы																																				AL . Биссектриса AL делит
	сторону BC на части, пропорциональные прилегающим сторонам, т.е.
																									BL											AB					.
																									LC										AC
																									2 2												3 2
		Имеем:						AB										2																1														16			16	4 2
																							2 2											3 2														1 2			12
								AC										1													4																					2 .
								AB
		Отсюда										4						2							4 .
								AC
																		2
		Значит,											BL					4 .
													LC
		Определим координаты точки L, делящей отрезок BC в
	отношении				:
								xL							xB										xC									2			4 1									2		;
																		1																1			4									5
								yL								yB									yC									1			4 4									15					3.
																		1																1			4										5
		Получили точку																L						2	;3 .
																							5

56

C ,

Биссектриса

AL проходит через две точки A 2;3 и L

2

;3 .

5

Еѐ уравнение имеет вид:

x 2

y

3

,

откуда

x 2

y

3

или

y

3

0 .

2

2

3

3

8

0

5

5

Получили уравнение биссектрисы AL :

y

3 .

д) Найдем точку

N

пересечения медианы

AM

и высоты

CH . Для

этого решим систему:

8x 16 0

N :

3x 5 y 9 0

1

x y 5 0

5

x 2, y 5 x 3

Таким образом, N 2;3 .

Заметим,

что точка

N совпала с точкой

A ,

значит,

стороны

AB и AC

взаимно перпендикулярны

и

треугольник

ABC -

прямоугольный. Кроме того, высота СН совпадает со стороной АС. е) Составим уравнение прямой, проходящей через вершину параллельно стороне AB .

Так как угловой коэффициент прямой AB ( y x						1) k1 1 , то
для прямой, параллельной стороне AB k2					k1 1 .
Уравнение прямой,	проходящей через точку C 1; 4					с угловым
коэффициентом k 1 имеет вид:
y	yC	k	x	xC	,
y	4	1 x		1 ,
y	4	x	1,
x	y	3	0.

Прямая		x	y 3 0 проходит через	точку	C , параллельно стороне
AB .
ж)	Для	определения расстояния от точки			M0 (x0 , y0 ) до прямой
Ax	By	C	0 используем формулу:

d	Ax0	By0	C	.
		A2 B2

Значит, расстояние от точки C 1; 4 до прямой x y 1 0

равно:

		1	4	1			2		2
d															2 (ед.).
	2			1	2	2			2
	1

57