V	1	S H ,
				3
	где S - площадь основания тетраэдра, H - его высота.
	Откуда H	3V	. Объем мы уже вычислили, осталось найти площадь
		S

основания, которая представляет собой площадь треугольника A1 A2 A3 .

Площадь треугольника вычислим, используя геометрический смысл модуля векторного произведения:

							1
	S A A A											A1 A2						A1 A3						.
							2
1		2	3
Найдем векторное произведение векторов A1 A2 и A1 A3 :
												i			j			k						2 0			i			1 0							1 2
	A1 A2			A1 A3								1 2 0																						j								k 4i 2 j 2k;
												0		2				2						2	2					2	2						0		2
	A1 A2			A1 A3						4; 2;2
Модуль полученного вектора:
														42							2 2				22
	A A A A																														16 4 4									24 2 6 .
	1	2	1				3
Наконец, площадь треугольника A1 A2 A3																																				будет равна:
							1
	S A A A									2 6									6 (кв.ед.)
							2
1		2	3

Таким образом, высота тетраэдра, опущенная на его основание

	3 6			18			18				6
H												3 6			(ед.дл.)
									6
	6			6
			Ответ: V							6 куб.ед.;
															H 3 6 (ед.дл.).

Задания для самостоятельного решения.

Задание 2.1.

Написать разложение вектора x по векторам p, q, r

46

1.	x				2; 4;7 ,					p				0;1; 2	,
2.	x				6;12;	1 ,				p				1;3;0	,
3.	x				1; 4; 4		,			p				2;1;	1 ,
4.	x				9;5;5		,			p				4;1;1 ,
5.	x				5; 5;5			,		p				2;0;1 ,
6.	x				13; 2;7		,			p				5;1;0	,
7.	x				19;	1;7			,	p				0;1;1 ,
8.	x				3; 3; 4		,			p				1;0; 2	,
9.	x				3;3; 1 ,					p				3;1;0	,
10	x				1;7;		4	,		p				1; 2;1 ,
11.	x				6;5;	14		,		p				1;1;4	,
12.	x				6; 1;7		,			p				1; 2;0		,
13.	x				5;15;0		,			p				1;0;5	,
14.	x				2; 1;11 ,					p				1;1;0	,
15.	x				11;5;	3 ,				p				1;0; 2	,
16.	x				8;0;5	,				p				2;0;1 ,
17.	x				3;1;8	,				p				0;1;3	,
18.	x				8;1;12		,			p				1; 2;	1 ,
19.	x				9; 8;		3		,	p				1;4;1 ,
20.	x				5;9;		13 ,			p				0;1;	2	,
21.	x				5;9;		13 ,			p				0;1;	2	,
22.	x				8;9; 4	,				p				1;0;1 ,
23.	x				23; 14;			30 ,		p				2;1;0	,
24.	x				3;1;3	,				p				2;1;0	,
25.	x				1;7;0		,			p				0;3;1 ,
26.	x				11; 1;4 ,					p				1; 1; 2		,
27.	x				13; 2;18				,	p				1;1;4	,
28.	x				0; 8;9		,			p				0; 2;1 ,

q	1; 0;1		,
q	2;	1;1			,
q	0;3; 2			,
q	2; 0;		3		,
q	1;3;		1		,
q	2;	1;3			,
q	2; 0;1				,
q	0;1;1		,
q	2; 2;1				,
q	2; 0;3			,
q	0;	3; 2			,
q	1;1;3				,
q	1;3; 2				,
q	0;1;		2		,
q	1; 0;1				,
q	1;1; 0		,
q	1; 2;		1		,
q	3; 0; 2			,
q	3; 2; 0				,
q	3;	1;1			,
q	3;	1;1			,
q	0;	2;1			,
q	1;	1; 0			,
q	1; 0;1		,
q	1;	1; 2			,
q	3; 2; 0			,
q	3; 0; 2				,
q	3;1;		1		,

r	1; 2; 4 .
r	0;	1; 2 .
r	1; 1;1 .
r	1; 2;1 .
r	0; 4;1 .
r	1; 0;	1 .
r	3;1; 0 .
r	2;	1; 4 .
r	1; 0; 2 .
r	1;1;	1 .
r	2;1;	1 .
r	1; 0; 4 .
r	0; 1;1 .
r	1; 0;3 .
r	2;5; 3 .
r	4;1; 2 .
r	2; 0; 1 .
r	1;1;1 .
r	1; 1; 2 .
r	4;1; 0 .
r	4;1; 0 .
r	1;3; 0 .
r	3; 2;5 .
r	4; 2;1 .
r	2;	1; 0 .
r	1;1;1 .
r	1; 2;	1 .
r	4; 0;1 .

47