y

M

B A C

x

Рисунок 5

Ответ:

x

6 2

y2

16 .

Пример 3.13

Написать

уравнение

траектории

точки

M x; y

обладающей

свойством: М в 2 раза ближе к точке А(0;-1), чем к прямой y

2 .

Решение:

Пусть M (x; y)

- произвольная точка искомой линии. По

условию задачи

2

AM

NM

, где

N

- основание перпендикуляра,

опущенного из точки

M на прямую

y

2 . Расстояние

d между

двумя точками M1 (x1; y1 ) и M 2 (x2 ; y2 ) определяется по формуле:

d

x

x 2

y

2

y 2 .

2

1

1

Тогда

AM

x2

y

1 2 .

Запишем расстояние от точки

M до прямой

y

2 , т.е. до

точки N (x; 2) , получим:

NM

x x 2

y 2 2

y 2 2

y 2

.

Подставляя эти

выражения в

равенство 3

AM

NM

,

получим уравнение траектории движения точки M :

80

2 x2		y 1 2		y 2		.

Преобразуем полученное уравнение:

4 x 2 y2	2 y 1 y2	4 y 4 ;
4x2	3y2 4 y	0 .

Дополняя до полных квадратов, находим:

4x2 3 y2		4	y	0 ;				4x2 3 y2					2		2			y				4		4
	3													3						9			9
													y	2						2
				2	2	4			x2
4x2	3 y						;							3									1 .
				3		3				1				4
								3						9

Полученное уравнение определяет эллипс с центром в точке C(0;

	и полуосями a		3	и b	2	(рис. 6).
		3			3

y

x

C

A

M

y = -2

0;

23)

Рисунок 6

81

y

2

2

x2

Ответ:

3

1 .

1

4

3

9

Пример 3.14

Написать уравнение

траектории

точки

M x; y

обладающей

свойством: M

равноотстоит от точки F 0; 3

и прямой y

5 .

Решение:

Пусть M

x; y - произвольная точка искомой линии. По условию

MF

MN

,

где N -

основание перпендикуляра, опущенного из

точки M на прямую y

5 .

Так как

MF

=

x2

y

3 2

MN

y

5

2 ,

то

x2

y

3 2

y

5 2

,

откуда

x2

y2

6 y 9 y2 10 y 25 .

Приводя подобные слагаемые, получим уравнение.

x2

16 y

16,

x2

16 y

1 ,

которое определяет параболу с вершиной в

точке

0; 1

и осью

симметрии OY (рис. 7)

82