2. Види середніх величин та способи їх обчислення
В практиці статистичної обробки інформації залежно від особливостей досліджуваних явищ застосовують різні види середніх величин.
Середні величини в статистиці належать до класу степеневих середніх, які описує формула:
,
де х – рівень ознаки, варіанта;
n – число варіантів;
m – показник степеня середньої.
Зміна степеня середньої величини визначає її вигляд.
Таблиця 1.5.1. Формули степеневих середніх
|
Степінь |
Вид середньої |
Формули |
|
0 |
Геометрична |
|
|
1 |
Арифметична |
|
|
2 |
Квадратична |
|
|
-1 |
Гармонічна |
|
Розглянемо окремі види середніх величин.
2.1. Середня арифметична.
Середню арифметичну визначають як відношення суми окремих значень ознаки до кількості одиниць сукупності. Розрізняють середню арифметичну просту і зважену.
а) Середня арифметична проста застосовується тоді, коли відомі індивідуальні значення усередненої ознаки у кожній одиниці сукупності (тобто на основі первинних, не згрупованих даних). Визначають за формулою:
б) Середню арифметичну зважену обчислюють тоді, коли окремі значення усередненої ознаки повторюються в досліджуваній сукупності неоднакове число разів (за даними варіаційного ряду розподілу). Визначають за формулою:
Математичні властивості середньої арифметичної
-
Добуток середньої на суму частот завжди дорівнює сумі добутку варіантів на частоти, тобто
-
Якщо від кожної варіанти відняти або додати будь-яке довільне число, то добута середня зменшиться або збільшиться на таке саме число, тобто
звідки
;
звідки
;
-
Якщо всі варіанти збільшити (зменшити) в i разів , то середня арифметична збільшується (зменшується) в стільки ж разів, тобто
-
Алгебраїчна сума відхилень окремих варіант ознаки від середньої дорівнює нулю.
-
Сума квадратів відхилень окремих варіант ознаки від середньої менша, ніж від будь-якої іншої величини.
-
Якщо всі частоти поділити чи помножити на будь-яке число, то середня арифметична від цього не зміниться.
Викладені вище властивості середньої арифметичної дають можливість спростити її обчислення.
На підставі другої та третьої властивостей можна:
-
відняти від кожної варіанти стале число (найкраще варіанту з найбільшою частотою);
-
поділити всі варіанти на стале число (переважно за таке беруть інтервал).
Обчислення середньої арифметичної за вказаним способом дістало в статистиці назву способу відліку від умовного нуля, або способу моментів.
Обчислення середньої способом моментів використовують у рядах з рівними інтервалами і розрахункова формула має такий вигляд:
де момент першого порядку обчислюють за формулою:
2.2. Середня гармонічна
Середня гармонічна застосовується для узагальненої характеристики ознак тоді, коли відомі окремі значення досліджуваної ознаки і обсяги явищ, а частоти невідомі.
Середня гармонічна – це обернена величина середньої арифметичної, обчисленої з обернених значень усереднених ознак. Вона буває простою і зваженою.
а) Середня гармонічна проста розраховується за формулою:
,
де х – варіанти;
n - кількість варіантів.
б) Середня гармонічна зважена розраховується за формулою:
,
де w - обсяги явищ.