3. Прямолінійна регресія. Визначення параметрів рівняння зв’язку

Залежно від форми зв’язку між факторною і результативною ознаками вибирають тип математичного рівняння. Прямолінійну форму зв’язку визначають за рівнянням прямої лінії

,

де у_х – теоретичні (обчислені за рівнянням регресії) значення результативної ознаки;

а₀ – початок відліку, або значення у_х при умові , що х = 0;

а₁ – коефіцієнт регресії (пропорційності) ,який показує, як змінюється у_х при кожній зміні х на одиницю;

х - значення факторної ознаки.

При прямому зв’язку між корелюючими ознаками коефіцієнт регресії а₁ матиме додатне значення, при оберненому (зворотному) – відмінне.

Параметри а₀ і а₁ рівняння регресії обчислюють способом найменших квадратів. Суть цього способу в знаходженні таких параметрів рівняння зв’язку, при яких залишкова сума квадратів відхилень фактичних значень результативної ознаки (у) від її теоретичних (обчислених за рівнянням зв’язку) значень (у_х) буде мінімальною:

.

Спосіб найменших квадратів зводиться до складання та розв’язування системи двох рівнянь з двома невідомими:

де n – кількість спостережень.

Розв’язавши цю систему рівнянь у загальному вигляді, матимемо формули для визначення параметрів а₀ і а₁ :

.

Обчислення показників зв’язку розглянемо на прикладі за даними таблиці 1.10.1.

Таблиця 1.10.1. Вихідні і розрахункові дані для обчислення параметрів рівняння зв’язку між змінним виробітком бурякозбиральних комбайнів і стажем роботи трактористів

Стаж роботи трактористів-машиністів, років	Середина інтервалу	Кількість трактори стів-машиністів, чол.	Середній змінний виробіток, га	Розрахункові величини				Змінний виробіток, обчислений за рівнянням
	x	n	y	xn	yn	x^2n	x yn	yx=1,65+0,09x
до 3	1	5	1,52	5	7,6	5	7,6	1,74
3-7	5	6	2,37	30	14,2	150	71,0	2,10
7-11	9	8	2,41	72	19,3	648	173,7	2,46
11-15	13	7	2,67	91	18,7	1183	243,1	2,82
15 і більше	17	4	3,15	68	12,6	1156	214,2	3,18
РАЗОМ	-	30	-	266	72,4	3142	709,6	-

Параметри рівняння регресії обчислюють для згрупованих даних з урахуванням частот мають вигляд:

.

Підставивши дані таблиці 1.10.1. у наведені формули, одержимо:

а₀ =; а₁ =.

Рівняння регресії, яке характеризує залежність змінного виробітку бурякозбиральних комбайнів від стану роботи трактористів-машиністів, має вигляд:

.

Економічний зміст цього рівняння такий: коефіцієнт регресії (0,09), показує, що при збільшенні стажу роботи трактористів-машиністів на один рік змінний виробіток на комбайн підвищується в середньому на 0,09 га. Параметр а₀ (1,65), як вільний член рівняння, має тільки розрахункове значення і не інтерпретується.

Важливим завданням кореляційного аналізу є визначення тісноти зв’язку між корелюючими величинами.

Кількісним показником тісноти прямолінійного зв’язку з одним фактором є коефіцієнт повної кореляції, який обчислюють за формулою:

,

де V – лінійний коефіцієнт кореляції;

Q_x – середнє квадратичне відхилення факторної ознаки;

Q_y – середнє квадратичне відхилення результативної ознаки.

Якщо враховувати, що , а , то найбільш зручною формулою для визначення лінійного коефіцієнта кореляції є:

.

При парній залежності коефіцієнт кореляції коливається від 0 до + 1 при прямому зв’язку і від 0 до – 1 – при оберненому зв’язку. Чим ближчий коефіцієнт кореляції до ±1 , тим тісніший зв’язок між х та у і навпаки, чим ближче коефіцієнт кореляції до 0 , тим слабший зв’язок між результативною і факторною ознаками. Якщо V< 0,3 – зв’язку немає, якщо V=0,3-0,5 – зв’язок слабкий, якщо V=0,5-0,7 – зв’язок середній, якщо V> 0,7 – зв’язок тісний. Коефіцієнт кореляції має такий самий знак що й коефіцієнт регресії у рівнянні зв’язку.

Для згрупованих даних коефіцієнт кореляції визначають за формулою:

,

де - відхилення стану роботи окремих груп трактористів-машиністів від середнього стажу у всій сукупності ();

- відхилення варіантів змінного виробітку від середнього змінного виробітку ().

Коефіцієнт кореляції становить:

,

оскільки 0,834>0,7, то зв’язок між х і у тісний.