4.5. Коефіцієнт варіації

Розраховують відношенням середнього квадратичного відхилення до середньої:

Знайдемо коефіцієнт варіації:

бригада 1:

бригада 2: .

Коефіцієнт варіації є ознакою надійності середньої. При величині V= 5% варіація вважається слабкою; 6- 10 – помірною; 10-20 - значною; 21-50 – великою; V> 50% - дуже великою.

Отже, у бригаді 2 варіація є значною, а у бригаді 1 – дуже великою,тобто у бригаді 1 велике коливання; у бригаді 2 – середнє коливання.

Вважається, що сукупність є однорідною, а середня типовою, коли коефіцієнт не перевищує 33%.

Іноді водночас з коефіцієнтом варіації обчислюють коефіцієнт осциляції:

,

який відображає відносні коливання крайніх значень ознаки навколо середньої, і лінійний коефіцієнт варіації:

.

5. Математичні властивості дисперсій

Дисперсія (середній квадрат відхилень) має певні математичні властивості, урахування яких дає змогу суттєво спростити її обчислення.

• Якщо всі значення варіант зменшити на будь-яке стале число А, то середній квадрат відхилень від цього не зміниться:

.

• Якщо всі значення варіант поділити на будь-яке стале число і, то дисперсія зменшиться внаслідок цього в і² разів. а середнє квадратичне відхилення – в і разів:

.

• Якщо обчислити квадрат відхилень від будь-якої величини А, що тією чи іншою мірою відмінна від середньої арифметичної , то він завжди буде більшим за середній квадрат відхилень (дисперсію) Q² , обчислений від середньої арифметичної , причому більший за певне значення-квадрат різниці між середньою і цією величиною, тобто на .

, або .

• Дисперсія ознаки Q² дорівнює різниці між середнім квадратом значень ознаки і квадратом середнього значення ознаки . Таким чином, не обчислюючи відхилень можна обчислити дисперсію:

.

• Обчислення дисперсії способом моментів:

,

де i² – квадрат інтервалу;

m₁ – момент першого порядку

,

m₂ – момент другого порядку

,

А – довільна величина.

6. Види дисперсій

При вивченні дисперсії досліджуваної ознаки в межах даної сукупності можна визначити три показники коливання ознаки: загальну дисперсію, міжгрупову дисперсію і середню із групових дисперсій.

6.1. Загальна дисперсія характеризує загальну варіацію ознаки під впливом усіх умов і причин, що зумовили цю варіацію.

, .

Для визначення впливу постійного фактора на розмір варіації потрібно розбити всю сукупність на групи та знайти, як змінюється результат під дією фактора, покладеного в основу групування. Для цього попередньо необхідно обчислити для кожної групи середню величину ознаки, групові (часткові) дисперсії, середню з групових та міжгрупову дисперсію.

6.2. Групова дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки всередині групи від середньої арифметичної відповідної групи. Їх можна обчислити як просту і зважену:

, , або спрощеним способом: .

Ця дисперсія відображує варіацію ознаки лише за рахунок умов і причин, що діють всередині групи.

6.3. Середня з групових дисперсій – це середня арифметична зважена з групових дисперсій:

.

6.4. Міжгрупова дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень групових середніх від загальної середньої :

,

де Q² – міжгрупова дисперсія,

- середня кожної окремої групи,

- загальна середня всієї сукупності,

- частоти.

Міжгрупова дисперсія характеризує варіацію результативної ознаки за рахунок групувальної ознаки.

Між наведеними видами дисперсій існує певне співвідношення: загальна дисперсія дорівнює сумі середньої з групових дисперсій та міжгрупової дисперсії:

.