2.3. Середня геометрична

Середню геометричну використовують для визначення середніх темпів зростання.

а) Середня геометрична розраховується за формулою:

,

де D_x – добуток.

б) Середня геометрична зважена розраховується, якщо відомі середні коефіцієнти зростання за неоднакові за тривалістю періоди:

,

де x_геом – середній темп зростання за весь період;

- середні темпи зростання за окремі періоди;

f - тривалість окремих періодів (ваги).

2.4. Середня квадратична

Середню квадратичну використовують для оцінки варіації ознак, а також для узагальнення ознак, виражених лінійними розмірами яких-небудь площ (для розрахунку середніх діаметрів стовбурів дерев, листків, кошиків тощо).

а) просту розраховують за формулою:

;

б) зважену за формулою:

;

де х – окремі значення ознаки (варіанти);

f – частоти (ваги).

2.5. Середня кубічна

Середню кубічну використовують для узагальнення ознак, виражених лінійними розмірами об’ємних фігур, наприклад для розрахунку середніх діаметрів плодів, насіння, яєць тощо. Обчислюють за формулою:

а) просту:

;

б) зважену:

;

2.6. Середня хронологічна

Середня хронологічна розраховується із рядів динаміки. Обчислюється вона як для інтервальних, так і для моментних рядів за принципом простої середньої і зваженої середньої.

Структурна формула середньої простої для інтервального ряду має вигляд:

де х – рівень ряду динаміки;

n – кількість рівнів в ряду динаміки.

а) для моментного ряду проста:

;

б) для моментного ряду зважена:

.

3. Структурні середні

Структуру сукупностей характеризують особливими показниками, які в статистиці називають структурними або порядковими середніми величинами До них відносять моду і медіану.

Мода (Мо) – це значення ознаки (варіанта), яке найчастіше повторюється у даній сукупності.

Медіана (Ме) – це значення ознаки (варіанта), що є серединою впорядкованого варіаційного ряду розподілу, тобто ділить його на дві рівні частини: одна частина має значення варіюючої ознаки менше ніж середня. а друга – більше.

Знайти моду і медіану у дискретному ряді розподілу досить просто, оскільки варіанти відповідають конкретним значенням ознаки (певним числам).

В інтервальному ряді розподілу спочатку знаходять модальний (медіанний) інтервал. Для знаходження модальної величини застосовують формулу:

;

де х_о – нижня межа модального інтервалу;

і_mo – величина модального інтервалу;

f_mo – частота модального інтервалу;

f_mo-1 – частота інтервалу перед модальним;

f_mo+1 – частота інтервалу наступного за модальним.

Медіана в інтервальному ряді розподілу визначається за формулою:

;

де х_о - нижня межа медіанного інтервалу;

і_mo – величина медіанного інтервалу;

– сума частот;

S – сума нагромаджених частот до медіанного інтервалу;

f_Ме– частота медіанного інтервалу.

4. Поняття варіації та основні її показники

Середні величини як узагальнювальні показники характеризують сукупності за варіюючою ознакою, вказують на їх типовий рівень у розрахунку на одиницю однорідної сукупності. Проте середня величина не пояснює, як групуються навколо неї окремі значення: чи лежать вони поблизу, чи, навпаки, істотно відхиляються від середньої. В першому випадку середня вважається досить надійною, у другому – не дуже надійною.

Ось чому для характеристики сукупності та обчислених середніх велике практичне й теоретичне значення має вивчення відхилень досліджуваної ознаки окремих варіантів від середньої величини. Від розміру й розподілу цих відхилень залежить типовість і надійність середніх величин.

Розглянемо це на прикладі за таблицею 1.5.1.

Таблиця 1.5.1. Вихідні і розрахункові дані для обчислення середнього виробітку двох варіаційних рядів

Номер робітника	Обсяг виготовленої продукції за зміну, штук		Відхилення
	Бригада 1 х1	Бригада 2 х2	х -		/х – /		(х - )^2
			Бригада 1	Бригада 2	Бригада 1	Бригада 2	Бригада 1	Бригада 2
1	2	8	-8	-2	8	2	64	4
2	3	9	-7	-1	7	1	49	1
3	12	10	2	0	2	0	4	0
4	15	11	5	1	5	1	25	1
5	18	12	8	2	8	2	64	4
Разом	50	50	0	0	30	6	216	10

Середній виробіток на одного робітника по кожній бригаді становить:

Отже середні величини в обох бригадах однакові, проте відхилення виробітку окремих членів від середніх у кожній бригаді різні. Якщо значення ознаки помітніше відхиляється від середнього, як, наприклад, у першій бригаді, то це означає, що досліджувана сукупність менш однорідна, а середня величина менш надійна.

Коливання окремих значень варіантів характеризують показники варіації.

Термін “варіація” походить від латинського “variatio” – зміна, коливання, різниця. У статистиці під варіацією розуміють такі кількісні зміни ознаки в межах однорідної сукупності, які зумовлені впливом різних факторів. Розрізняють варіації випадкові і систематичні. Аналіз систематичної варіації дає змогу оцінити залежність зміни ознаки від суттєвих для неї факторів.

4.1. Розмах варіації

Визначають як різницю між найбільшим і найменшим значенням варіантів:

У наведеному прикладі:

• для першої бригади: R = 18-2 =16:

• для другої бригади: R = 12 - 8 = 4.

Недоліком цього показника є те, що він фіксує лише крайні відхилення і не враховує відхилень решти варіантів від їхньої середньої.

4.2. Середнє лінійне відхилення

Обчислюють як частку від ділення суми всіх відхилень на їх число. Суму відхилень беруть за модулем, без урахування знака відхилень. Формула середнього лінійного відхилення:

а) для незгрупованої сукупності:

;

б) для згрупованої сукупності:

.

Для нашого прикладу:

.

Отже за показником виробітку друга бригада однорідніша за першу.

4.3. Середній квадрат відхилення (дисперсія)

Обчислюють як середню арифметичну з суми квадратів відхилень окремих варіантів від їхньої середньої

а) для незгрупованої сукупності:

;

б) для згрупованої сукупності:

.

4.4. Середнє квадратичне відхилення

Розраховують як корінь квадратний з дисперсії:

а) для незгрупованої сукупності:

;

б) для згрупованої сукупності:

.

У приведеному прикладі дисперсія по кожній бригаді:

; .

Середнє квадратичне відхилення відповідно:

; .

Середнє квадратичне відхилення є мірилом надійності середньої.

Чим менше середнє квадратичне відхилення, тим повніше середня арифметична відображує всю сукупність.

Оскільки у другій бригаді дисперсія і середнє квадратичне відхилення менші, ніж у першій, це свідчить про високу надійність середньої у другій бригаді.

Усі розглянуті показники варіації є абсолютним виміром варіації. Це означає, що безпосередньо порівнювати абсолютні показники варіації у варіаційних рядах різних явищ не можна. Для можливості їх порівняння необхідно обчислити показники, які характеризують варіацію у процентах.