3. 5.3. Случайный процесс - математическая модель сигналов

Казалось бы, после того как мы установили, что сигналами служат состояния физических объектов, никаких проблем с их математическим описанием не должно быть: ведь физика имеет богатый опыт построения математических моделей физических процессов и объектов. Например, можно зафиксировать звуковые колебания, соответствующие конкретному сигналу, в виде зависимости давления х от времени t и изобразить этот сигнал функцией x(t); такой же функцией можно изобразить и статический сигнал, например запись этого звука на магнитной ленте или на грампластинке, поставив параметру t в соответствие протяженность (длину)записи.

1. Непредсказуемость - основное свойство сигналов

Однако имеется существенное различие между просто состоянием x(t) объекта и сигналом x(t). Оно состоит в том, что единственная функция x(t) не исчерпывает всех важных свойств сигналов. Ведь понятие функции предполагает, что нам известно значение х (либо правило его вычисления) для каждого t. Если же это известно получателю сигнала, то отпадает необходимость в передаче: функция x(t) может быть и без этого воспроизведена на приемном конце.

Следовательно, единственная однозначная функция вещественного аргумента не может служить моделью сигнала. Такая функция приобретает с.игнальные свойства только тогда, когда она является одной из возможных функций. Другими словами, моделью сигнала может быть набор (или, как еще говорят, ансамбль) функций параметра t, причем до передачи неизвестно, какая из них будет отправлена; это становится известным получателю только после передачи. Каждая такая конкретная функция называется реализацией. Если теперь еще ввести вероятностную меру на множество реализации, то мы получим математическую модель, называемую случайным процессом.

Прежде чем перейти к некоторым подробностям этой модели, отметим, что у нее все-таки имеются качества, которых нет у реальных сигналов (еще раз обратим внимание на нетождественность модели и оригинала). Дело в том, что реальные системы всегда оперируют только с конечным объемом данных, а понятие аналитической функции предполагает ее т о ч н о е значение для каждого значения аргумента, т.е. такое, которое может быть представлено только с помощью бесконечного ряда цифр. Иначе говоря, в "более правильной" модели сигнала любая реализация не должна определяться с бесконечной точностью. Но пока не существует подходящего математического аппарата, столь же удобного, как математический анализ, и мы вынуждены пользоваться традиционным понятием функции. Это сопряжено с тем, что в выводах теории могут появиться (и на самом деле появляются [6]) парадоксы, природа которых связана не с реальными сигналами, а с их моделью, Во всяком случае, там, где конечная точность реальных сигналов существенна для самой постановки задачи, ее вводят в модель либо как добавочный "шум", либо как "квантование" непрерывного сигнала (наподобие шкалы с делениями у измерительных приборов).

Вернемся к рассмотрению случайных процессов как моделей сигналов. Имеется несколько различных подходов к тому, как вводить вероятностную меру на множестве реализации. Для инженерных приложений оказывается удобным определение случайного процесса как такой функции времени x(t), значение которой в каждый данный момент является случайной величиной. Случайная величина полностью характеризуется распределением вероятностей, например плотностью P₁(x₁ | t₁); однако, чтобы охарактеризовать случайный процесс, нужно описать, связаны ли (и если да, то как) значения реализации, разделенные некоторыми интервалами времени. Так как связь только двух таких значений, описываемая распределением второго порядка P₂(x₁,x₂|t₁,t₂), может неполно характеризовать процесс в целом, вводят распределения третьего, четвертого,..., п-го порядков: P_n(x₁, ... , x_n|t₁, ... , t_n). В конкретных задачах обычно ясно, до какого порядка следует доходить в описании процесса.