4. Шкалы интервалов

Если упорядочивание объектов можно выполнить настолько точно, что известны расстояния между любыми двумя из них, то измерение окажется заметно сильнее, чем в шкале порядка. Естественно выражать все расстояния в единицах, хотя и произвольных, но одинаковых по всей длине шкалы. Это означает, что объективно равные интервалы измеряются одинаковыми по длине отрезками шкалы, где бы они на ней ни располагались. Следствием такой равномерности шкал этого класса является независимость отношения двух интервалов от того, в какой из шкал эти интервалы измерены (т.е. какова единица длины интервала и какое значение принято за начало отсчета).

Сказанное можно-выразить вполне формализованно. Пусть М - множество совершенно упорядоченных элементов, для каждой пары с, d которых задано вещественное число (с, d), удовлетворяющее следующим условиям:

(1) если с<d, то (с, d)>0;

(2) если с М и r-вещественное число, то найдутся такие d, е М, что (с, d)=M, (с, e)=-r;

(3) для любых (с, d, е) М верно равенство (с, d)+(d, e)=(с, e).

Множество М с таким бинарным отношением назовем интервальной шкалой. В шкале интервалов можно ввести систему координат. Выберем для этого любую пару точек ("репер") c,d М точка c играет роль начала координат, а интервал (с, d) - роль единичного интервала. Каждой точке е М поставим в соответствие координату x_e= (с, e)/(с, d). Тогда точка с будет иметь координату 0, а точка d - координату 1.

Если ввести в М другую систему координат, построенную на репере с₁ и d₁, то координаты х_e и х_e1 точки е в этих двух системах координат будут связаны линейным соотношением х_e=aх_e1+b. Несмотря на то, что координата х_e, и разности х_e-х_f меняются при смене репера, для любых e, f, g, h М отношение интервалов (х_e-х_f)/(х_g-х_h) - не зависит от выбора репера.

Итак, интервальные шкалы могут иметь произвольные начала отсчета и единицы измерения, что можно выразить словами: "шкала интервалов единственна с точностью до линейных преобразований".

Примерами величин, которые по физической природе либо не имеют абсолютного нуля, либо допускают свободу выбора в установлении начала отсчета и поэтому измеряются в интервальных шкалах, являются температура, время, высота местности.

Начало летоисчисления у христиан установлено от рождества Христова, а у мусульман - на 622 г. позднее-от переезда Мухаммеда в Медину; единицы летоисчисления привязаны к относительным перемещениям Солнца и Луны, но в астрономии существует целых шесть разных определений года. Высоту принято отсчитывать от уровня моря, но это привело к тому, что большая часть территории Голландии имеет... отрицательную высоту, так как расположена ниже уровня моря.-

Несмотря на произвольность начала отсчета, в обыденной жизни координаты интервальной шкалы иногда абсолютизируются (вспомните, как много эмоций и реальных событий мы связываем с Новым годом, началом нового века, и т.д.).

Название "шкала интервалов" подчеркивает, что в этой шкале только интервалы имеют смысл настоящих чисел и только над интервалами следует выполнять арифметические операции: если произвести арифметические операции над самими отсчетами по шкале, забыв об их относительности, то имеется риск получить бессмысленные результаты. Например, если сказать, что температура воды увеличилась в два раза при ее нагреве от 9 до 18 градусов по шкале Цельсия, то для тех, кто привык пользоваться шкалой Фаренгейта, это будет звучать весьма странно, так как в этой шкале температура воды в том же опыте изменится от 48,2 до 64,4.

Подобно тому как определение значения символа Кронекера является единственной допустимой операцией над наблюдениями в номинальной шкале, а вычисление ранга наблюдения-в порядковой шкале, в интервальной шкале единственной новой допустимой операцией над наблюдениями является определение интервала между ними. Над интервалами же можно выполнять любые арифметические операции, а вместе с ними - использовать подходящие способы статистической и иной обработки данных. Например, центральные моменты (в том числе дисперсия) имеют объективный физический смысл, а начальные моменты (в том числе среднее значение) являются относительными наряду с началом отсчета. Поэтому понятие относительной погрешности (коэффициента вариации, т.е. отношения стандартного отклонения к математическому ожиданию) не имеет смысла для интервальной шкалы. Это не означает, что вообще нельзя суммировать показания в шкале интервалов, например вычислять выборочное среднееx. Однако с такой величиной нужно обращаться так же, как и с другими исходными наблюдениями,-она остается интервальной величиной и приобретает числовой смысл только в процессе определения интервалов. Поэтому выборочная дисперсия имеет объективный смысл, хотя и определяется через x по формуле S²=M[X-x]² ; дело в том, что Х - х является интервалом.