8. Согласование шкалы с природой наблюдений

В табл. 6.1 приведены основные сведения о всех рассмотренных в данном параграфе измерительных шкалах. Можно сказать, что чем сильнее шкала, в которой производятся измерения, тем больше сведений об изучаемом объекте., явлении, процессе дают измерения. Поэтому так естественно стремление каждого исследователя провести измерения в возможно более сильной шкале. Однако важно иметь в виду, что выбор шкалы измерения должен ориентироваться на объективные отношения, которым подчинена наблюдаемая величина, и лучше всего производить измерения в той шкале, которая максимально согласована с этими отношениями. Можно измерять и в шкале, более слабой, чем согласованная (это приведет к потере части полезной информации), но применять более сильную шкалу опасно: полученные данные на самом деле не будут иметь той силы, на которую ориентируется их обработка.

Аналогичная ситуация имеет место и после того, как проведены измерения. У исследователя могут быть причины, побуждающие его преобразовать протокол наблюдений, переведя их из одной шкалы в другую. Если при этом данные переводятся в более слабую шкалу, то обычно исследователь отдает себе отчет в том, что в результате происходит некоторое ухудшение качества выводов. Иногда же исследователи усиливают шкалы; типичный случай - "оцифровка" качественных шкал:

классам в номинальной или порядковой шкале присваиваются номера, с которыми дальше "работают" как с числами. Если в этой обработке не выходят за пределы допустимых преобразований, то "оцифровка" - это просто перекодировка в более удобную (например, для ЭВМ) форму. Однако применение других операций сопряжено с заблуждениями и ошибками, так как свойства, навязываемые подобным образом, на самом деле не имеют места.

9. О других шкалах

Обширный опыт наблюдений в разнообразных областях науки и практики нередко приводил к целесообразности использования шкал, отличающихся от рассмотренных выше. Обсудим наиболее важные и интересные из них.

Таблица 6.1. Итоговая таблица измерительных шкал

Название шкалы	Определяющие отношения	Эквивалентное преобразование шкал	Допустимые операции надданными (первичная обработка)	Вторичная обработка данных
Номинальная	Эквивалентность	Перестановки наименований	Вычисление символа Кронекера ij	Вычисление относительных частот и операций над ними
Порядковая	Эквивалентность: предпочтение	Не изменяющее порядка (монотонное)	Вычисление ij, рангов Ri	Вычисление относительных частот и выборочных квантилей, операции над ними
Интерва льная	Эквивалентность: предпочтение: сохранение отношения интервалов;	Линейное преобразование у=aх+b a>0; b R,	Вычисление ij, рангов Ri и интервалов (разностей между наблюдениями)	Арифметические действияная интервалами
Циклическая	Эквивалентность: предпочтение: сохранение отношения интервалов; периодичность	Сдвиг у=x+nh;. h=const, п=0.1,2,...	То же. что и для интервальной шкалы	То же, что и для периодичность
Отношений	Эквивалентность; предпочтение; сохранение отношения интервалов; сохранение отно шения двух значений	Растяжение у=ax, a>0	Все арифметические операции	Любая подходящая обработка
Абсолютная	Эквивалентность; предпочтение; сохранение отношения интервалов: сохранение отношения двух значений; абсолютная и безразмерная единица; абсолютный нуль	Шкала уникальна	Все арифметические операции: использование в качестве показателя степени, основания и аргумента логарифма	Любая необходимая обработка

Очень распространены измерения непрерывных величин, возможные значения которых образуют континуум. По ряду причин результат наблюдения такой величины всегда фиксируется с "округлением", с конечной точностью, т.е. так, как будто наблюдаемая величина дискретна. Иногда эта точность связана лишь с выбором числа разрядов в записи наблюдения, и ее можно увеличить, просто наращивая число значащих цифр (что часто делается в компьютерных расчетах). Однако в научных и технических измерениях эта точность ограничивается не тем, на сколько еще частей можно разделить каждое деление шкалы, а классом точности самого прибора.

В связи с этим следует различать шкалы, в которых измеряются величины, дискретные по своей природе (например, измерение энергии с точностью до квантов в физике элементарных частиц, подсчет поголовья скота, количества деревьев на данной площади и т.п.), и шкалы, в которых измеряются с конечной точностью непрерывные величины (масса, длина, напряжение, время и т. д.). Первые будем называть дискретными шкалами, вторые - дискретизованными. Обращение с данными в дискретизованной шкале имеет свои особенности. Важно, что в таких измерениях нельзя фиксировать дробные части деления шкалы, даже если стрелка прибора остановилась между метками: класс точности прибора не гарантирует различения внутри интервала точности. Казалось бы, последующая статистическая обработка совокупности неточных наблюдений может дать повышение точности за счет усреднения. Однако это верно не во всех случаях: все зависит от того, какой параметр раснреде-ления данных мы оцениваем, и не изменяет ли погрешность этот параметр, Другими словами, вопрос о влиянии дискредитации на конечный результат не является тривиальным.

Известны случаи, когда "ухудшение" измерения в дискретизованной шкале на самом деле улучшает результат. Например, при определении координат звезд при проектировании изображения участка неба на светочувствительную матрицу, рекомендуется расфокусировать изображение так, чтобы световое пятно от звезды охватывало несколько пикселов ( ячеек) матрицы. Это увеличивает точность определения положения звезды. Другой интересный эффект дискретизации заключается в том, что при искажении измеряемого параметра распределения наблюдений существует некоторое число усредняемых наблюдений, превышение которого может лишь ухудшить точность конечного результата.

Еще один практически важный класс шкал - нелинейные. Так называются шкалы, в которых интервалы не удовлетворяют условиям аддитивности. Иначе говоря, "цена" единичного деления такой шкалы зависит от того, в какой части шкалы находится это деление. Примерами могут служить квадратичная, логарифмическая, экспоненциальная шкалы, "вероятностная бумага", многие номограммы. Причины введения нелинейных шкал могут быть как объективными (например, нелинейность измерительного прибора, большой динамический диапазон измеряемой величины), так и субъективными (удобство и наглядность представления данных, желание подчеркнуть некоторые детали полученной зависимости и т.д.). Обработка данных, зафиксированных в таких шкалах, требует учета конкретного характера нелинейности. Следует иметь в виду и то, что некоторые из нелинейных преобразований могут ненамеренно изменить силу шкалы. Например, в акустике и радиотехнике часто отношение мощностей сигналов представляется в децибелах: N[дб]=10 lg(P₂/P₁) . Мощности P₂ и P₁ измеряются в шкале отношений, следовательно, все операции, необходимые для получения количества децибел, допустимы. Однако величина N принадлежит шкале интервалов, нто должно учитываться при дальнейшем оперировании с нею (например, нельзя говорить, что мощность данного сигнала равна такому-то количеству децибел и не указать, в сравнении с чем).

Обратим внимание на еще одну особенность типовых шкал. Бросается в глаза резкое, принципиальное отличие между "слабыми" качественными шкалами - номинальной и порядковой - и "сильными" количественными шкалами - интервалов, разностей, отношений, абсолютной. Кажущееся очевидным различие между "качеством" и "количеством", несводимость одного к другому, применительно к измерительным шкалам вдруг теряет очевидность. Во всяком случае возникает интригующий вопрос: является ли переход от качественных шкал к количественным принципиально скачкообразным, или существует возможность путем пошагового усиления порядковой шкалы "плавно" дойти до интервальной? Возможность постепенного усиления открывается в связи с введением, наряду с упорядочением альтернатив, понятия силы предпочтения. Речь идет о возможности сравнения "расстояний" между упорядоченными альтернативами. Ясно, что как только эти расстояния начнут изменяться в числовых шкалах, так и шкала в целом станет числовой (напомним, что формальное определение интервальной шкалы вводилось именно через определение интервала). Отказ от сравнения сил предпочтения оставляет нас в рамках порядковой шкалы. Существует и промежуточный вариант: сравнивать различия между альтернативами в порядковой шкале. Это - явное усиление шкалы, не переводящее ее, однако, в разряд количественной. Такую шкалу называют шкалой гиперупорядочения. Дальнейшее усиление состоит в том, чтобы упорядочивать силы предпочтения сил предпочтения и т.д. Сходится ли такая последовательность порядковых шкал хотя бы в пределе к числовой шкале, и при каких требованиях к нечисловому характеру сил предпочтения - остается пока математически открытым вопросом.

Как пример нетривиального усиления порядковой шкалы при числовом характере сил предпочтения, изложим идею шкалы Черчмена и Акоффа на частном примере.

Пусть имеется четыре предмета. Сначала опрашиваемый упорядочивает их в порядке предпочтения: А В C D. Затем его просят поставить в соответствие (приписать) предметам любые числа между нулем и единицей, выразив грубо "силу" предпочтения. Пусть результат таков: A/1.00 B/0.85 C/0.75 D/0.20

Целью является уточнение с помощью дальнейших вопросов действительной силы предпочтений опрашиваемого. Например, что он предпочитает, А или В, С и D вместе взятые. Результат необходимо как-то отразить в весовых коэффициентах. Делается предположение, что весовой коэффициент совокупности альтернатив равен сумме их весовых коэффициентов. Если, например, A>(В С D), приписывают новые коэффициенты: A/1.00 B/0.65 C/0.20 D/0.10

Далее спрашивают, как упорядочиваются В и (С D). Если, по мнению опрашиваемого, С D>В, то уменьшают вес В так, чтобы он был меньше суммы весов С и D: A/1.00 B/0.25 C/0.20 D/0.10

Другие начальные веса при указанных вопросах и ответах могут остаться неизменными, если они сразу отвечали указанным требованиям. Например: A/1.00 B/0.33 C/0.33 D/0.33 или A/1.00 B/0.04 C/0.03 D/0.03

Чтобы сократить перебор комбинаций при уточнении шкалы, авторы метода предлагают наиболее предпочтительной альтернативе приписывать единичный вес, а остальные группировать по три и действовать по указанной методике. Если и при этом количество перебираемых комбинаций окажется большим (что неизбежно при большом числе упорядочиваемых объектов), то можно прибегнуть к неполному перебору, применив случайный механизм выбора троек и установив критерий прекращения пересчета весов.

Основным предметом критики порядковой шкалы Черчмена и Акоффа является тот факт, что предположение об аддитивности весов предпочтения в психологии нередко не выполняется: скажем, опрашиваемый может оценивать смесь меда с дегтем иначе, чем суммой весов меда и дегтя в отдельности; то же может относиться и к оценке хлеба с маслом и хлеба и масла в отдельности.

Интересно отметить, что несмотря на задание сил предпочтения в шкале отношений (так как к ним применяются операции сложения и деления), результирующая шкала определяется только приблизительно, остается оценочной. Это прежде всего связано с тем, что опрашиваемый не в состоянии точно описать силы своих предпочтений, и задаваемые им числа являются лишь интуитивными приближениями.

Подведем итог: Основные результаты данного параграфа сведены в табл. 6.1, которая отражает главные особенности каждой измерительной шкалы.