2. Некоторые модели ансамбля реализации

Нормальный шум. Удобной моделью помех и некоторых полезных сигналов является стационарный нормальный случайный процесс. Такое название вызвано тем, что случайные мгновенные значения величины x(t) предполагаются подчиненными нормальному закону (с нулевым средним), т.е. плотность распределения первого порядка выражается формулой p₁(x₁|t₁)=(2N)^-1exp{-(2N)^-1x₁²}, а для n - мерной плотности справедлива формула:

P_n(x₁, ... , x_n|t₁, ... , t_n)=(2)^-n/2(|C|)^-0.5exp{-(2|C|)^-1 _i,j |c_ij| x_i x_j},

Использованные здесь обозначения таковы: N=Е(Х²} - мощность шума (дисперсия мгновенных значений); c_ij=Е(x_i, x_j) - коэффициенты ковариации; C=||c_ij||; |C| - определитель матрицы C; |c_ij| - алгебраическое дополнение элемента c_ij.

Сигнал как колебание со случайными огибающей и фазой. Понятия амплитуды и фазы, введенные первоначально для гармонических сигналов, с помощью модуляции были обобщены на сигналы, которые уже не являются гармоническими. Легко обобщить их на произвольные сигналы: пока чисто формально можно задать такие функции R(t) и (t), чтобы для заданной функции x(t) было выполнено равенство x(t)=R(t)cos(_ t +(t)), и можно трактовать R(t) и (t) как "огибающую" и "фазу" колебания с частотой _.

Свобода выбора в задании функций R и  при определенных условиях весьма ограничена. Эти условия мы уже упоминали как "медленность" R(t) по сравнению с cos(_ t) и (t) по сравнению с _ t, а в целом этот комплекс условий в силу причин (которые мы не будем обсуждать) получил название узкополосности сигнала x(t).

Пусть принимаемый сигнал является суммой полезного сигнала и шума:

x(t)=s(t)+n(t).

Рассмотрим случай, когда полезный сигнал есть гармоническое колебание

s(t)=S cos(_ t),

а шум является нормальным с дисперсией ² и нулевым средним. Будем считать, что _ значительно превышает ширину полосы частот, занимаемую сигналом x(t), так что такая узкополосность обеспечивает физический смысл понятиям его огибающей и фазы. Направив ось Оx: вдоль вектора сигнала s(t), находим его координаты х=S и у=0. Вектор шума случаен, обе его компоненты нормальны с нулевым средним и дисперсией ². Сложение векторов сигнала и шума приводит к вектору с нормальными компонентами, у одной из которых среднее равно S, а у другой - нулю:

p(x, y)dxdy = (2²)^-1exp{-(2²)^-1[(x-S)²+y²]} dx dy

Поскольку существуют радиотехнические устройства, чувствительные только к огибающей или только к фазе принимаемого сигнала, имеет смысл рассмотреть их статистические свойства. Переходя от декартовых координат (х, у) к полярным (R, ). получаем распределение: p(R, )dR d = (2²)^-1exp{-(2²)^-1(R²-2RScos+S²)} dR d.

Распределения вероятностей отдельно для огибающей R и фазы  получаются при интегрировании совместного распределения по переменной, которую нужно исключить. Например, распределение огибающей имеет вид:

p(R) dR = dR ₀^2p(R, )d R^-2exp(-(R²+S²)(2²)^-1)I₀(RS^-1)dR.

где через I₀ обозначена модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка (так называется трансцендентная функция, выражаемая полученным интегралом). Это распределение называется распределением Рэлея-Райса или обобщенным распределением Рэлея, поскольку при S=0 оно обращается в обычное распределение Рэлея. Распределение фазы выражается формулой

p()d=d  p(R,)dR.

Подведем итог: В данном параграфе приведено несколько наиболее употребительных моделей сигналов. Следует помнить, что в ряде случаев эти модели достаточно хорошо отображают реальные сигналы, но абсолютно точными они не бывают никогда.