8. 7.8. Выбор при расплывчатой неопределенности

Любая задача выбора является задачей целевого сужения множества альтернатив. Как описание альтернатив (перечень их признаков, параметров и т.п.), так и описание правил их сравнения (критериев, отношений) даются в терминах той или иной измерительной шкалы (см. § 6.2). Известно, что любая измерительная шкала допускает размытие (см. § 6.3). Точнее говоря, в жизни мы часто сталкиваемся с ситуациями, описать которые можно лишь в размытых шкалах. Это, разумеется, относится и к ситуациям, приводящим к выбору. В результате мы приходим к задачам выбора в условиях расплывчатой неопределенности. Каждой из задач, рассмотренных в предыдущих параграфах, можно поставить в соответствие несколько расплывчатых задач, поскольку размытыми могут оказаться все или только некоторые компоненты задачи. До настоящего времени рассмотрено лишь незначительное число таких задач, однако ведется работа в этом направлении.

1. Многокритериальный выбор в расплывчатой ситуации

Уже в первой работе по принятию решений в расплывчатой ситуации Беллман и Задэ [4] выдвинули идею, состоящую в том, чтобы и цели, и ограничения представлять как размытые множества на множестве альтернатив (в случае одной цеяи и одного ограничения это соответствует заданию множеств G={х, _G(х)}; С={х, _C(х)}. Следующий важный шаг состоял в определении размытого решения D как пересечения размытой цели G и размытого ограничения С: _D(х)=min[_G(х), _C(х)].

Обобщение на случай большего числа условий очевидно. Если из размытого множества D требуется выделить какую-то одну альтернативу, то можно поступать по-разному (вплоть до рандомизации выбора), но возможный вариант состоит в максимизации _D(х).

При таком изложении задачи выбора напрашивается идея о том, чтобы вообще функцию принадлежности i-му условию интерпретировать как i-й критерий качества и вернуться к многокритериальным задачам.

Интересны исследования в этом направлении, сделанные Эстером [45]. Он рассмотрел суперкритерий вида: Z_p(x)={_i g_i[_i(x)]^p}^1/p; 0 g_i 1;_i g_i=1; _i(x) - функция принадлежности i-му условияю; p - параметр суперкритерия. Задача нахождения наилучшей альтернативы х^* сводится к максимизации Z_p(x). Очевидно, что при этом решение зависит от конкретного набора коэффициентов g={ g_i}. Обозначим через Е(р) множество {x_g^*}, соответствующее разным g при фиксированном p. Эстер обнаружил [46] интересные свойства множеств Е(р): для всех - <р₁<р₂< справедливо включение E(p₁) Е(р₂) РМ, где РМ - паретовское множество (см. § 7.2).

Функции принадлежности вообще находить непросто (см. § 6.3), а при использовании изложенного подхода, кроме того, требуется, чтобы они еще имели и смысл критериальных функций в задаче выбора. Это может оказаться и неудобным, и бессмысленным. С.А. Орловский [27] предложил не изменять содержательного смысла критериев качества альтернатив и не отождествлять критериальные функции с принадлеж-ностными, а отразить в модели расплывчатость шкал, в которых эти критерии фиксируются (если такая расплывчатость имеет место). Предполагается, что критериальные функции q_i(x) относятся к параметрическим семействам, т.е. q_i(x)=J_i(x,q), и считается, что расплывчатость критериальных функций сводится к расплывчатости в описании параметров q: Q={q, _Q(q)}. Теперь для каждой альтернативы х значение критерия J_i(x, q) принадлежит размытому множеству, функция _i(J_i(x)) принадлежности к которому зависит от х и от конкретного вида функций J_i(x, q) и _Q(q). Носитель этого множества может быть как ограничен сверху величиной J_i⁰(x), так и не ограничен (чем больше J_i, тем лучше; ограниченность J_i сверху несущественна). Если естественного ограничения снизу нет, то его можно ввести искусственно, задав некоторый уровень  для функции принадлежности и взяв в качестве J_i⁰(x) наименьший корень уравнения _i(J_i(x))=. В результате величины J₁⁰(x), ... , J_m⁰(x) можно рассматривать как новые (и уже неразмытые!) критериальные функции, и мы возвращаемся к стандартной многокритериальной задаче, которую можно решать любым из стандартных методов (см. § 7.2). Орловский, в частности, предлагает находить паретовское множество альтернатив.

Заканчивая обзор расплывчатых вариантов критериальных задач выбора, рассмотрим еще задачи, связанные с использованием расстояний между точками в пространстве альтернатив. При расплывчатом описании альтернатив предлагается "расстояние" определять через модули разностей функций принадлежности, например

d(x_i, x_j)={ m^-1_r=1^m |_r(x_i)-_r(x_j)|^p}^1/p;

где _r(х) - функция принадлежности по r-му признаку к интересующему нас множеству. Такие расстояния используются в задачах классификации [17].