1. Функции выбора как математический объект

Язык функций выбора описывает выбор как операцию над произвольным множеством альтернатив X, которая ставит этому множеству в соответствие некоторое его подмножество С(X): С(Х) Х - (Обозначение связано с первой буквой английского слова choice - "выбор".) Функция выбора как отображение совокупности множеств в совокупность множеств (поскольку для выбора могут предлагаться любые подмножества X_i X) без поэлементного отображения одного множества на другое и без отображения множеств на числовую ось является своеобразным и пока еще не полно изученным математическим объектом, Конечно, накладывая на функцию выбора определенные требования, мы можем на этом языке описывать и те варианты выбора, которые отражаются в предыдущих языках. Однако главное достоинство нового языка-возможность рассмотрения более сложных правил выбора. На такую возможность указывает хотя бы различие числа возможных функций выбора и числа возможных графов предпочтения на множестве п альтернатив. Число графов, отличающихся наличием или отсутствием хотя бы одной дуги, равно 2ⁿ². Если для выбора предлагаются k из п альтернатив, то число функций выбора равно 2^kn (каждая из альтернатив может либо входить в C(X_k), либо нет). Так как число возможных вариантов предъявления альтернатив равно C^k_n, то общее число функций выбора равно _k(2^k)^Ckn. Как видим, разнообразие функций выбора на много превосходит разнообразие графов предпочтения. Кроме того, здесь сразу допускается отказ от выбора, т.е. пустой выбор C(X_i)= , что также расширяет множество правил выбора.

2. Ограничения на функции выбора

Различие между классами правил выбора можно выразить через различные ограничения, которым подчиняется тот или иной тип функции выбора. Отдельные ограничения и их комбинации дают уже известные нам правила выбора, другие определяют новые правила, которые предстоит изучить. (По разным причинам наиболее подробному рассмотрению подвергались именно те функции выбора, которые идентичны выбору, описываемому на предыдущих языках [22].) Приведем некоторые из таких ограничений:

Аксиома наследования (Н): X' X C(X') C(X) X'.

Смысл этой аксиомы сводится к требованию, чтобы в выбор на подмножестве X' вошли все те альтернативы из X', которые входили в выбор на Х.

Аксиома согласия (С):  |_iC(X_i)  |_iC(X_i).

Это означает, что в выбор из объединения множеств обязательно должны входить альтернативы, общие для выборов из всех множеств.

Оказывается, совместное подчинение функции выбора аксиомам Н, С дает выбор, описываемый в языке бинарных отношений.

Аксиома отбрасывания (О): C(X) X' X C(X')=C(X).

Это означает, что если отбросить любую часть отвергнутых при выборе альтернатив, то выбор на оставшемся множестве не изменится; поэтому данную аксиому называют также условием независимости от отвергнутых альтернатив.

Совместное наложение на выбор аксиом Н, С, О приводит к случаю выбора паретовского множества.

Аксиома Плотта (КС): C(X_1 Х₂)=C(C(X_1 Х₂)).

Это отражает требования, накладываемые при многоступенчатых выборах, когда считается, например, что определить чемпиона мира можно путем соревнований между чемпионами стран и результат окажется тем же, если соревноваться будут не только чемпионы. Поэтому эту аксиому называют еще условием независимости от пути. Функции выбора, удовлетворяющие ей, называются квазисумматорными.

Можно показать, что требование КС эквивалентно совместному выполнению Н, О; следовательно, соединение требований КС, С тоже приводит к паретовскому выбору.

Аксиома предпочтения (П): X' Х C(X) X'=C(X').

Она требует, чтобы при сужении множества альтернатив в выборе оставались только те альтернативы, которые входили в выбор ранее. Это столь жесткое ограничение, что оно эквивалентно скалярному критериальному выбору.

Ясно, что некоторые из введенных аксиом можно ослаблять или усиливать. Аксиому Плотта можно усилить до аксиомы сумматорности: C(X_1 Х₂)=C(X₁) C(X₂) можно накладывать новые, независимые требования (например, аксиома мультиплика-торности C(X_1 Х₂)=C(X₁) C(X₂), аксиома монотонности X_1 X_2 C(X₁) C(X₂), получая при этом различные типы выбора. Наоборот, можно, изучив ограничения того или иного реального правила выбора, искать свойства класса функций выбора, удовлетворяющего этим ограничениям (попробуйте, например, установить, каким аксиомам отвечает и противоречит правило определения победителя шахматного турнира по числу набранных очков). Айзерман с сотрудниками начал изучение классов функций выбора [2]; эту работу пока нельзя считать законченной.

Подведем итог: Язык функций выбора является весьма общим и потенциально может описать любой выбор. Однако его теория находится в начальной стадии развития и пока еще занимается преимущественно описанием старых ситуаций в новых терминах