5. 5.5. О некоторых свойствах непрерывных сигналов

Хотя мы излагаем лишь элементы теории сигналов, преследуя только ознакомительные цели, представляется интересным рассмотреть два основных ее аспекта, относящихся к свойствам непрерывных сигналов.

1. Частотно-временное представление сигналов

Первый - это частотно-временная неопределенность сигналов. Известно, что некоторая функция x(t) и ее спектр X(f) однозначно выражаются друг через друга. Следовательно, сигнал можно рассматривать в любом из этих эквивалентных представлений - временном или частотном. При этом масштабные параметры этих представлений связаны обратно пропорциональной зависимостью. Пусть x(t) имеет спектр X(f). Изменим масштаб по оси времени в а раз (например, воспроизведем запись x(t) с другой скоростью) и найдем спектр функции x(at):

X_a(f)=_-^x(at)e^i2ftdf=a^-1X(f a^-1).

Как видим, масштаб по частотной оси изменился в а^-1 раз. Более того, из свойств преобразования Фурье следует, что сигналы с ограниченной длительностью имеют спектры неограниченной ширины, а сигналы с ограниченной полосой частот длятся бесконечно долго.

Этот математический результат находится в противоречии с практикой: в реальности все сигналы конечны по длительности, а все чувствительные к сигналам устройства не могут воспринимать и воспроизводить абсолютно все частоты. Например, диапазон частот, к которым чувствителен слух человека, простирается от нескольких герц до 20 - 30 кГц, а все различимые звуки человеческой речи длятся доли секунды.

Тот факт, что аналитическая функция времени не может быть одновременно ограниченной и по длительности, и по ширине спектра, является, как видим, не свойством реальных сигналов, а свойством данной модели сигналов. В §5.3 мы уже отмечали, что если не отказываться от достоинств аппарата аналитических функций, то выход состоит в том, чтобы как-то иначе ввести в рассмотрение конечную точность реализации функций времени. Правда, пока эта конечная точность не будет свойством самих реализации, ее искусственное введение в модель можно проводить на разных этапах, что придает результатам некоторую относительность.

Например, говорить об одновременной ограниченности сигналов и по времени, и по спектру оказывается возможным при использовании энергетического критерия точности: сигнал считается имеющим конечную длительность T, если в этом интервале времени сосредоточена основная часть всей энергии функции x(t); в то же время и ширина спектра F сигнала определяется как область частот, содержащая эту же часть всей энергии спектра X(f): _T x²(t)dt=_F X²(f)df = _-^ x²(t)dt=_-^X²(f)df

Здесь величина  меньше единицы, но достаточно близка к ней, а величина 1- характеризует косвенным образом точность, о которой шла речь.

Теперь можно говорить о том, какую "площадь" на плоскости "частота-время" занимает тот или иной сигнал. Если строго следовать теории Фурье-преобразований, то получим, что эта площадь для всех сигналов бесконечна, но для большинства из них энергетический критерий позволит ограничить ее естественным образом. Меняя форму сигнала s(t), можно менять и занимаемую им площадь. Оказывается [4], что уменьшать эту площадь можно лишь до некоторого предела. Этот предел достигается на кривой, являющейся гармоническим колебанием, которое модулировано по амплитуде гауссовым импульсом; интересно, что спектр этой кривой имеет такую же форму: s(t)=e^-a(t-t0)2e ^i2f0t; S(f)=e^{-(/a)2(f-f0)2}e^-i2ft0

Существование предела, ниже которого нельзя сжать площадь сигнала, занимаемую им на плоскости "частота - время", и называется (по аналогии с принципом неопределенности в квантовой механике) принципом частотно-временной неопределенности сигналов:

Д^-ДГ^сопз^О. (5)