5. Шкалы отношений

Пусть наблюдаемые величины удовлетворяют не только аксиомам 4° и 5°, но и аксиомам аддитивности:

6°. Если А=Р и В>0, то А+В>Р.

7° А+В=В+А.

8°. Если A=P и B=Q, то A+B=P+Q.

9°. (А + В) + С = А + (В + С).

Это существенное усиление шкалы: измерения в такой шкале являются "полноправными" числами, с ними можно выполнять любые арифметические действия, так как вычитание, умножение и деление-лишь частные случаи сложения. Введенная таким образом шкала называется шкалой отношений. Этот класс шкал обладает следующей особенностью: отношение двух наблюдаемых значений измеряемой величины не зависит от того, в какой из таких шкал произведены измерения: x₁/x₂=y₁/y₂. Этому требованию удовлетворяет соотношение вида у=ax (a 0). Таким образом, величины, измеряемые в шкале отношений, имеют естественный, абсолютный нуль, хотя остается свобода в выборе единиц. В самом деле, при наличии абсолютного нуля свобода в выборе начала отсчета исчезает, и в формуле связи между разными системами координат, выведенной для интервальных шкал, второй член равен нулю (так как (c, с₁)=(c, с)=0), откуда и следует y=ax.

Примерами величин, природа которых соответствует шкале отношений, являются длина, вес, электрическое сопротивление, деньги.

6. Шкалы разностей

К числу шкал, единственных с точностью до линейных преобразований, относятся шкала интервалов (у=ах+b, а>0 и b произвольны) и шкала отношений (у=ах, а>0 - преобразование растяжения) . Рассмотрим особенности шкал, инвариантных к сдвигу: у=х+b.

Повторно применяя сдвиг к у(z=у+b=х+2b), затем к t и т.д., обнаруживаем, что в такой шкале значение не изменяется при любом числе сдвигов: у=х+пb, n=0, 1, ... . Постоянная b является характерным параметром шкалы и называется ее периодом. Полученную шкалу будем называть шкалой разностей (иногда ее также называют циклической или периодической). В таких шкалах измеряется направление из одной точки (шкала компаса, роза ветров и т.д.), время суток (циферблат часов), фаза колебаний (в градусах или радианах).

Циклические шкалы являются частным случаем интервальных шкал. Однако соглашение о хотя и произвольном, но едином для нас начале отсчета шкалы позволяет использовать показания в этой шкале как числа, применять к ним арифметические действия (до тех пор, пока кто-нибудь не забудет об условности нуля, например при переходе на летнее время или обратно, пересечении линии смены дат и т.д.).

7. Абсолютная шкала

Рассмотрим такую шкалу, которая имеет и абсолютный нуль, и абсолютную единицу. Эта шкала не единственна с точностью до какого-либо преобразования, а просто единственна, уникальна. Именно такими качествами обладает числовая ось, которую естественно назвать абсолютной шкалой. Важной особенностью абсолютной шкалы по сравнению со всеми остальными является отвлеченность (безразмерность) и абсолютность ее единицы. Указанная особенность позволяет производить над показаниями абсолютной шкалы такие операции, которые недопустимы для показаний других шкал, - употреблять эти показания в качестве показателя степени и аргумента логарифма. Числовая ось используется как измерительная шкала в явной форме при счете предметов, а как вспомогательное средство присутствует во всех остальных шкалах. Внутренние свойства числовой оси, при всей кажущейся ее простоте, оказываются чрезвычайно разнообразными, и теория чисел до сих пор не исчерпала их до конца. А некоторые безразмерные числовые отношения, обнаруживаемые в природе, вызывают восхищение и изумление (явления резонанса; гармонические отношения размеров, звуков; законы теории подобия и размерности; квантование энергии элементарных частиц и т.п.).